Выражение (2.27) можно записать в виде 6 глава
4.3.2. Определяющие уравнения. Уравнение совместности
Плоская задача в декартовой системе координат. Уравнение совместности. Исходная система уравнений плоской задачи в декартовых координатах, как было показано в предыдущем параграфе, включает восемь уравнений. Естественно попытаться ввести некоторые упрощения. Прежде всего, исключим перемещения u и w из выражений (4.17). Продифференцируем первое из них дважды по z, второе дважды по x, третье сначала по x, потом по z:
Сравнивая полученные выражения, имеем
Это уравнение называется уравнением совместности или уравнением неразрывности деформаций. Физический смысл уравнения совместности заключается в том, что оно обеспечивает сохранение сплошности среды после деформирования. Это уравнение следует объединить с уравнениями равновесия (4.15) в общую систему. Однако прежде надо преобразовать (4.21) к напряжениям. С этой целью подставим в него выражения закона Гука (4.16), предварительно взяв необходимые производные
В результате имеем
Найденное уравнение можно преобразовать к более компактной форме с помощью уравнений равновесия (4.14). С этой целью продифференцируем первое из уравнений (4.14) по x, а второе - по z и сложим:
Подставив это равенство в правую часть уравнения (4.22), после приведения подобных членов и сокращения на общий множитель (1 - n) получим искомое уравнение совместности в прямоугольной системе координат, выраженное через напряжения:
Часто это уравнение записывают с помощью оператора Лапласа
Последнее равенство вместе с уравнениями равновесия составляют определяющую для плоской задачи систему из трех уравнений - два уравнения равновесия и уравнение совместности - с тремя неизвестными функциями напряжений, отыскание которых дает искомое решение плоской задачи:
Можно пойти дальше по пути упрощений. Введем некоторую функцию j (здесь j - не угол внутреннего трения (!)), связанную с напряжениями следующим образом
Функция j называется функцией напряжений или функцией Эри. Нетрудно убедиться, что при подстановке выражений (4.26) в уравнения равновесия (4.15) получаются тождества. Функция напряжений, таким образом, позволяет свести определяющую систему плоской задачи (4.25) к одному уравнению:
или в компактной форме
В результате плоская задача определения напряженно-деформированного состояния грунтовой среды будет сводиться к решению только одного дифференциального уравнения, содержащего одну неизвестную функцию, которая должна удовлетворять этому уравнению и граничным условиям. Плоская задача в полярной системе координат. Некоторые задачи удобно решать в полярной системе координат Or q. В такой системе координат уравнения равновесия бесконечно малого элемента, показанного на рис. 4.8, имеют вид:
Рисунок 4.8. - Схема напряженного состояния в точке (плоская задача, полярные координаты)
Известно, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам - величина инвариантная, т.е. не зависящая от выбранной системы координат. Поэтому справедливы равенства
Используя эту величину, а также известные соотношения между декартовыми и полярными координатами
Окончательно определяющая система уравнений плоской задачи в полярных координатах r q примет вид
Если пренебречь собственным весом среды (
Тогда уравнение совместности, аналогичное (4.27) и (4.28), запишется в виде
или
где Пространственная задача в декартовой системе координат. При решении пространственной задачи в напряжениях приходится сталкиваться с наиболее сложной ситуацией, на которой остановимся лишь коротко. В рассматриваемом случае необходимо подобрать шесть функций для компонент напряжений, удовлетворяющих помимо уравнений равновесия (4.18) и граничных условий шести уравнениям совместности [2]
где Осесимметричная задача в цилиндрической системе координат. Особый интерес представляет случай осевой симметрии. Схема осесимметричного напряженного состояния в точке в цилиндрической системе координат Orz q показана на рис. 4.9 (ось Oz направлена вертикально вниз). Уравнения равновесия для этого случая имеют вид: Рисунок 4.9. - Схема напряженного состояния в точке (осесимметричная задача, цилиндрические координаты)
Запишем уравнения совместности, опуская их вывод. При данном виде напряженного состояния таких уравнений четыре:
где Функции Эри, связанная с напряжениями равенствами
должна удовлетворять уравнению
или короче
где
4.3.3. О методах решения задач теории линейно-деформируемой среды
Главная трудность при решении рассмотренных в п. 4.3.2 задач состоит в подборе такой функции напряжений, которая помимо уравнений (4.28), (4.34) или (4.39), удовлетворяла бы и граничным условиям. Можно задаться каким-либо определенным видом функции с некоторыми постоянными коэффициентами, исходя из физической сути задачи, граничных условий или других дополнительных соображений. Например, в известной в теории упругости задаче о силе, приложенной внутри упругого пространства функция Эри не должна содержать линейных размеров, поскольку их нет в самой задаче; в задаче о вертикальной силе, приложенной к полупространству (см. ниже задачу Буссинеска) ясно, что с глубиной напряжения должны уменьшаться и т.д. Как только удается в конкретной задаче подобрать функцию Эри, то по соответствующим формулам нетрудно определить все компоненты напряжений, деформаций и перемещений в любой точке рассматриваемой области. Так, в плоской задаче для этого следует использовать зависимости (4.15)…(4.17).
В замкнутом виде получить эту функцию далеко не всегда возможно, и при решении приведенных выше уравнений широко используют метод конечных разностей. Если заменить частные производные в (4.28), (4.34) или (4.39) отношениями конечных приращений, то получим систему линейных алгебраических уравнений. Другие подходы, также заключающиеся в применении численных решений, реализуются методом конечных элементов и методом граничных интегральных уравнений, которые получили значительное развитие в последние десятилетия. В МКЭ исследуемая область разбивается на отдельные конечные элементы, в пределах каждого из которых устанавливается связь между усилиями и перемещениями, а затем, используя вариационные принципы, для всех элементов составляется и решается общая алгебраическая система уравнений. В методе граничных интегральных уравнений искомые функции определены на границе области, и задача сводится к решению интегральных уравнений. Подробное описание методов аналитических и численных решений можно найти в специальной литературе. Ниже мы будем останавливаться преимущественно на классических решениях базовых плоских и пространственных задач ТЛДС, полученных в замкнутом виде, и являющихся наиболее важными с практической точки зрения, результаты которых лежат в основе многих инженерных методов и расчетов.
4.3.4. Понятие о бытовых и дополнительных напряжениях
В инженерной практике при решении задач о напряженно-деформированном состоянии основания принято отдельно определять напряженное состояние, возникающее от собственного веса грунта и от внешних нагрузок. Такой подход вполне оправдан, поскольку в ТЛДС, как отмечалось, справедлив принцип суперпозиции. В соответствии со сказанным, введем понятия бытовых и дополнительных напряжений.
Бытовые напряжения - это напряжения, возникающие в основании от действия собственного веса грунта - веса вышележащих слоев. Обозначаются индексом «g», например, s zg. Дополнительные напряжения - это напряжения, возникающие только от действия внешней нагрузки. Обозначаются индексом «p», например, s zp. Полное напряженное состояние находится суммированием решений:
и т.д. В дальнейшем при раздельном анализе бытового и дополнительного напряженного состояния индексы «g» и «p» будем, как правило, опускать. Определение бытового напряженного состояния, вообще говоря, является крайне сложной задачей, поскольку для этого необходимо знать всю историю осадконакопления на территории каждой конкретной строительной площадки [30]. При этом может оказаться, что принцип линейной деформируемости будет вообще неприменим. Вместе с тем, на практике бытовые напряжения рассчитываются весьма просто вследствие обычно принимаемых дополнительных гипотез об упрощенном характере процесса осадконакопления (см. п. 4.4). Принято считать, что точности таких расчетов в большинстве случаев достаточно для инженерных целей. В результате основное внимание уделяют определению дополнительных напряжений, где особенно сложен поиск решений в замкнутом виде. Итак, с точки зрения строгой постановки ТЛДС применение данной методики определения полных напряжений вполне корректно. Вместе с тем, этот прием используется и в приближенных расчетах. Например, учет неоднородности основания, который для бытового напряженного состояния в рамках обычно принимаемых допущений не представляет трудностей, при определении дополнительных напряжений выполняется сравнительно редко. Однако полученные в результате напряжения также суммируются, что для практических расчетов часто оказывается оправданным.
4.4 Задача о природном напряженном состоянии основания
Однородное основание. Рассмотрим простейший случай определения бытового напряженного состояния однородного изотропного линейно-деформируемого полупространства, ограниченного сверху горизонтальной плоскостью (рис. 4.10, а). Для большей общности положим, что на всей поверхности основания действует равномерно распределенное давление интенсивностью q. Возьмем прямоугольную систему координат, оси Oх и Oу которой расположены на поверхности основания, а ось Oz направим вертикально вниз. Поскольку в направлении осей Ox и Oy на поверхности основания ничего не изменяется, то, очевидно, напряжения в основании не зависят от координат х и у. В таком случае в дифференциальных уравнениях равновесия системы (4.15) частные производные
Рисунок 4.10. - Схемы к определению бытовых напряжений: (а) в однородном основании; (б) в слоистом основании
Интегрируя его, получим
где С - произвольная постоянная интегрирования. Константу С определим из граничного условия на поверхности основания. Так как при z = 0, s z = q, то С = q, и окончательно имеем
Таким образом, в однородном основании напряжение s z нарастает с глубиной по линейному закону (рис. 4.10, а). Поскольку t xz = 0, то напряжение s z является главным напряжением и, очевидно, наибольшим, так что s z = s1. Помимо напряжения s z, для полноты картины надо отметить еще и боковые напряжения s x, s y. Эти напряжения установим, полагая, что деформации основания в процессе его геологического формирования происходили равномерно в направлении оси Oz, и в последующем оно не подвергалось тектоническим процессам (в других случаях определения бытовых напряжений также будем придерживаться этой гипотезы). При таких предположениях деформации основания под действием только собственного веса грунта происходили в условиях невозможности боковых деформаций e x = e y = 0. Иначе говоря, деформирование совершилось в условиях компрессионного сжатия в направлении оси Oz. В таком случае боковые напряжения определяются зависимостями
где Ясно, что эти напряжения также являются главными, так что Третье уравнение определяющей системы (4.25) очевидно удовлетворяется, так как вторые производные от Отметим, что если отказаться от принятых допущений, то напряжения s х, s у окажутся неопределенными. Основание с горизонтальным напластованием грунтов. Перейдем к случаю, когда в основании возможно выделить несколько инженерно-геологических элементов, залегающих горизонтально (рис. 4.10, б). Опустим выводы формул, они аналогичны только что рассмотренным. Большинство приведенных выше рассуждений также остается справедливым и в этом случае. Запишем формулу для вертикального бытового напряжения, возникающего на глубине
В общем случае для точки с координатой z, находящейся в n -м от поверхности слое эта формула примет вид:
В этих формулах: z - координата точки, в которой определяется напряжение, n - общее количество слоев, причем рассматриваемая точка находится в n -м слое; g i и hi - удельный вес и мощность i -го слоя. В произвольном i -м слое остальные напряжения определятся как
где Эпюра вертикальных напряжений s z дана на (рис. 4.10, б). Однородное обводненное основание. Если основание обводнено (рис. 4.11, а), и вода свободно перемещается по порам грунта, то по закону Архимеда она оказывает взвешивающее действие на частицы грунта. Тогда для однородного обводненного основания напряжения на глубине z с учетом сказанного равны:
Рисунок 4.11. - Схемы к определению бытовых напряжений: (а) в однородном обводненном основании; (б) в двухслойном обводненном основании
где Степень взвешивания частиц грунта при его обводнении для разных видов грунтов будет различна [35]. Считается, что чем меньше общая площадь контактов между частицами, тем полнее проявляется взвешивание для каждой из них. Дело в том, что по площадям контактов между частицами гидростатическое давление воды не может передаваться. В этом случае имеет место, как говорят, неполное взвешивание частиц. Принято считать, что полному взвешиванию подвергаются пески и супеси, несколько хуже суглинки, а для плотных глин взвешивания может вообще не быть. Двухслойное обводненное основание. Рассмотрим обводненное основание, например, в русле реки. Допустим, что с поверхности залегает водопроницаемый песчаный грунт, а подстилает его слой плотной глины (рис. 4.11, б). Этот слой можно считать водоупорным. Такая ситуация может встречаться в транспортном строительстве, в частности при сооружении мостовых переходов. Итак, в песчаном слое в уровне его подошвы согласно вышесказанному вертикальные бытовые напряжения с учетом взвешивания водой составят
где Переходя в слой глины, очевидно, выталкивающая сила исчезает. Кроме того, глина будет воспринимать дополнительное давление от веса столба воды высотой Hw (рис. 4.11, б). Это давление компенсировалось в первом слое за счет всестороннего обжатия водой каждой частицы песка, т.е. гидростатического давления. В результате на границе слоев песка и глины в эпюре вертикальных напряжений возникает скачок, равный давлению от столба воды
где
4.5. Плоская задача определения напряжений от внешних нагрузок
4.5.1. Задача о погонной нагрузке (задача Фламана, 1892 г.)
Задача Фламана имеет фундаментальное значение, поскольку, как будет показано далее, оно позволяет решать разнообразные задачи о напряженно-деформированном состоянии основания в условиях плоской деформации. Рассматриваемая задача состоит в следующем. Вдоль некоторой прямой, проведенной на поверхности основания, нормально к поверхности действует равномерно распределенная сосредоточенная погонная нагрузка p (рис. 4.12). Остальная часть поверхности основания остается свободной. Требуется определить напряженно-деформированное состояние основания от такой нагрузки. При этом в уравнениях равновесия надо полагать g = 0, поскольку будут определяться дополнительные напряжения. Рисунок 4.12. - Напряженное состояние элемента основании в задаче Фламана
Переходя к решению задачи, предположим, что при указанных условиях загружения в основании возникает простое радиальное напряженное состояние, в котором s r - наибольшее главное напряжение s1, а наименьшее главное напряжение sq º 0 и, следовательно, t r q º 0 (см. рис. 4.12). Принятое предположение будет оправдано в ходе решения. Сейчас же отметим, что оно удовлетворяет граничным условиям задачи, так как равенство sq º 0 означает отсутствие давления на поверхности основания, разумеется, за исключением точек оси Oу, где действует нагрузка p. Согласно этому предположению второе из уравнений системы (4.32) тождественно обращается в нуль, а первое уравнение принимает более простой вид:
Разделим в нем переменные
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|