Задачи для самостоятельного решения.

Задача 4.4. Допустим, что функция полезности ЛПР логарифми­ческая U(W) = ln (W) и весь его капитал составляет 5 тыс. руб.

Возникают две ситуации:

1. С вероятностью 0,5 ЛПР может выиграть и проиграть 1 тыс. руб. Есть ли смысл покупать страховой полис, устраняющий риск, за 125 руб.?

2. ЛПР рискнул, отказался от страхового полиса и проиграл 1 тыс. руб. Та же ситуация возникла во второй раз. Следует ли ему застрахо­ваться от риска на прежних условиях (125 руб. за страховой полис). Что целесообразнее: приобрести полис или принять участие в игре?

Задача 4.5. Предположим, что ваша функция полезности определя­ется логарифмической зависимостью U(W)= ln (W) и вы сталкиваетесь с ситуацией, когда можете с равными шансами выиграть и проиграть

1 тыс. руб. Сколько вы готовы заплатить, чтобы избежать риска, если текущий уровень вашего благосостояния равен 10 тыс. руб.? Сколько вы заплатили бы, если бы ваше состояние было 1 млн руб.?

Задача 4.6. Мелкий бизнесмен сталкивается с ситуацией, когда с вероятностью 10 % пожар может уничтожить все его имущество, с вероятностью 10 % - уменьшить его недвижимость до 50 тыс. руб., с вероятностью 80 % огонь не принесет ему вреда и стоимость его иму­щества останется равной 100 тыс. руб. Какую максимальную сумму он готов заплатить за страховку, если его функция полезности имеет лога­рифмический вид U(W) = ln(W), а страховые выплаты составляют 100 тыс. руб. для первого случая и 50 тыс. руб. для второго случая?

Задача 4.7. Пусть функция полезности «нового русского» имеет вид:

U(W) = 10 + 2 W,

где W - денежный выигрыш.

Бизнесмен может вложить в строительство магазина 25 тыс. руб. и считает, что с вероятностью 0,5 он получит прибыль в 32 тыс. руб. и с вероятностью 0,5 потеряет весь свой капитал. Определите:

• Следует ли осуществлять инвестирование проекта?

• Если будет сделано инвестирование, то какова ожидаемая полез­ность этого мероприятия?

Задача 4.8. В профессиональном теннисе нередко имеет место практика дележа призов за первое и второе места поровну между фи­налистами (тайный сговор до начала состязания). Например, если пер­вый приз равен 100 000 дол., а второй - 32 000 дол., то каждый полу­чает по 66 000 дол. (66 000 = (100 000 + 32000) / 2). Определите:

• Если игрок склонен к риску и уверен, что его выигрыш и проиг­рыш равновероятны (50 %), то согласится ли он участвовать в дележе?

• Предположим, что функция полезности одного из игроков имеет вид, представленный на рис. 4.6. Пожелал бы такой игрок участвовать в дележе призов, если шанс выиграть составляет 50 %?

• Как правило, игроки, попавшие в финал, не соглашаются на пред­варительный дележ призов, поскольку они уверены в своей победе. Какова должна быть минимальная вероятность выигрыша, чтобы с представленной на рис. 4.6 функцией полезности рассчитывать на по­лучение приза за первое место?

Рис. 4.6. Функция полезности одного из игроков в задаче 4.8

Задача 4.9. Предполагается, что типичная функция полезности дохода для человека имеет вид, показанный на рис. 4.7. Определите:

• Предпочтет ли такой человек получить со 100 %-ной определенно­стью доход В или принять участие в игре, в которой с вероятностью 0,5 получает доход А и с вероятностью 0,5 - доход С, где В = А/2 + С/2?

Рис. 4.7. Типичная функция полезности дохода для человека

• Предпочтет ли человек с такой функцией полезности получить со 100 %-нои определенностью доход D или принять участие в игре, в которой выигрывает сумму С с вероятностью 0,5 и сумму Е с вероят­ностью 0,5 (D=C/2 + E /2)?

Задача 4.10. Управляющий банком во время своего отпуска желает совершить кругосветное путешествие, которое стоит 10 000 дол. По­лезность путешествия можно оценить количеством денег, потраченных на отдых (W).

Пусть его функция полезности выражается зависимостью U(W) = ln(W). Определите:

• Если существует вероятность, равная 0,25, потерять во время путешествия 1 000 дол., то какова ожидаемая полезность кругосветного путешествия?

• Отдыхающий банкир может приобрести страховку от потери 1 000 дол. за 250 дол., купив, например, дорожные чеки. Покажите, что ожидаемая полезность в случае, когда он покупает страховку, выше по сравнению с ситуацией, когда потеря 1 000 дол. происходит без стра­хования.

• Какова максимальная денежная сумма, которую банкир готов зап­латить за страховку от потери 1 000 дол.?