Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАРШРУТОВ ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА




Задача 8.1. Выбор трассы новой автобусной линии в городе. Построен за городом новый жилой микрорайон, который нужно связать с центром города. Имеем исходную стратегическую игру (W,A,L). Статистик пришел к выводу, что линию можно провести до пункта А1, или А2, или А3. Решение А = {а1, а2, а3}, где a1, означает проведение трассы до А1, а2 - до А2, а3 - до А3, причем А1 и А3 находятся в разных концах города. Множеством состоя­ний природы W являются Q1, Q2, Q3 - состояния, когда большин­ство жителей микрорайона работает соответственно в окрестнос­ти пункта А1, пункта А2 и пункта А3, находящегося в самом центре города.

Если принятое решение провести трассу не будет удовлетво­рять нужды жителей микрорайона, то транспортное предприя­тие понесет потери. Потери будут максимальными при ошибоч­ном решении проложить трассу к пункту А3 вместо А1 или на­оборот.

Решение. Функция L(Q, а) потерь характеризуется матри­цей (табл. 8.1).

Таблица 8.1

 

Преобразуем стратегическую игру (W, A, L) в статистичес­кую (W, D, R) при учете информации о действительном состоя­нии природы. Для этого проводится выборочный опрос жителей микрорайона. Результаты этого опроса образуют вектор

где x1, х2, х3, - доля от общего числа опрошенных (не менее 50 %), которые предлагают строительство трассы до пунктов А1, А2, A3 соответственно;

x4 — любое из трех направлений не получило решающего количества голосов.

Действительные данные результата опроса показали следую­щие вероятности рекомендаций жителей (табл. 8.2) в зависимо­сти от состояний природы Q.

Таблица 8.2

 

В результате опроса получаем условные вероятности P(x1|Q1) = P(x2|Q2) = P(x3|Q3) = 0,7. Пусть d(x) = а - нерандомизированная функция решения, преобразующая множество Х результатов эк­сперимента в множество решений. Множество D нерандомизи­рованных решений при наличии четырех результатов экспери­мента и трех возможных решений будет иметь 34 = 81 различ­ную функцию решений статистика в статистической игре с при­родой (W, D, R}. Из них мы ограничимся шестью допустимыми функциями: d1, d2, ... , d6 (табл. 8.3).

Таблица 8.3

 

 

Какие же решения не вошли в допустимые? Недопустимые функции решения — это все функции dÎD, которые не ставят в соответствие хотя бы одному из результатов x1, x2, x3 решение а1, а2, a3 потому, что для этих функции значе­ние риска R(Q, d) будет всюду большим по сравнению с други­ми функциями решений. Результат х4 при этом во внимание не принимается, поскольку он не отражает конструктивного пред­ложения.

Учтем полученные условные вероятности и, зная значения функций потерь, вычислим математические ожидания функций потерь, т. е. получим функции риска для допустимых функций решений:

Из табл. 8.3 видно, что вне зависимости от х1, х2 х3, х4 реше­ние d4 будет соответствовать решению а1, d5®a2, d6®a3.

Объединим все полученные решения в табл. 8.4 и выпишем минимальные значения функции риска по строке и максималь­ные значения - по столбцу.

Таблица 8.4

 

Таким образом, как показывает табл. 8.4, среди нерандо­мизированных функций решений нет минимаксной функции: v1=0<v2=1,75. Следовательно, минимаксную функцию реше­ния надо искать во множестве D* рандомизированных функций d.

В данной статистической игре (W, D, R) в качестве оптималь­ной нужно принять минимаксную функцию решения.

Для того чтобы найти рандомизированную минимаксную функцию решения d0, следует обратиться к линейному програм­мированию (см. приложение).

Пусть d - распределение вероятностей на множестве неран­домизированных функций решения d. Обозначим это распреде­ление h1 = P(d1), h2 = P(d2), ... , h6 = P(d6). Теперь обозначим через u цену расширенной статистической игры (W, D*, R) при рандо­мизации функций решений и запишем в терминах линейного про­граммирования задачу статистика, который решает ее в интере­сах транспортного предприятия.

Для этого воспользуемся данными табл. 8.4:

Преобразуем переменные, разделив h на цену игры u> 0, и введем дополнительные переменные q7, q8, q9. В результате пе­рейдем от неравенств к равенствам:

при qj > 0, j = .

Решим эту задачу линейного программирования симплексным методом (техника решения известна и здесь не излагается) и получим базисное оптимальное решение:

q1 = q3 = 2/7; q2 = q4 = q5 = qб = 0.

Значит, Zmax = q1 + q3 = 2/7 +2/7 = 4/7.

Отсюда u = l/Zmax = 2/7 = 1,75.

Перейдем к исходным переменным hi = qi u; i = , где hi - вероятности, с которыми следует сочетать соответствующие нерандомизированные функции решения di (i = ). После пере­множения получим рандомизированные функции d:

Итак, получена минимаксная рандомизированная функция ре­шения d0 с распределением вероятностей: P(d1) = 1/2; P(d3) = 1/2. Как ее охарактеризовать? Это смешанная стратегия d0 с одина­ковыми вероятностями чистых функций решения d1 и d3. Они различаются только результатом статистического эксперимента.

Вывод. В задаче выбора транспортным предприятием наи­лучшей трассы маршрута новой автобусной линии получена оптимальная минимаксная функция решения:

• если по эксперименту с анкетами получен результат х1, или x2, или x3, то следует принять решение а1 или а2, или a3 соответ­ственно;

• если получен результат х4, то нужно использовать механизм случайного выбора между решениями а1 (трассу вести до А1) и a3 (трассу вести до А3) с одинаковыми вероятностями, равными 0,5. Следует сделать одно важное замечание: в данном случае мы из расчетов получили одинаковые вероятности. (Это реше­ние не имеет ничего общего с принципом равновероятности, который иногда необоснованно применяется при отсутствии информации о возможных вероятностях событии.)





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.