 |
Модуль вектора. Направляющие косинусы
|
|
|
|
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые 
, 
, 
соответственно (см. рис 12).
 |
Выберем произвольный вектор 
пространства и совместим его начало с началом координат: 
.
Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора 
плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим соответственно через M 1, М 2 и М 3. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр х 
, пр y 
, пр z 
. По опре-
делению суммы нескольких векторов находим 
.
А так как 
, то
. (5.1)
Но
. (5.2)
Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через 
, 
и 
, т.е. 
, 
, 
. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем
| |||
 |
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: 
.
Равенство 
означает, что 
Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать 
, т.е.
.
Отсюда
| |||
 |
т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем
(5.5)
Или, что то же самое,
|
|
|
Числа 
называются направляющими косинусами вектора .
Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем
Сократив на 
получим соотношение
| |||
 | |||
т.е. сумма направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора 
являются числа , т.е. 
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы 
и 
заданы своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz или, что то же самое
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:
1. 
,
или кратко . То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).
2. 
или короче 
. То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора и 
равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: 
, т.е.
|
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарности векторов и , заданных своими координатами. Так как || , то можно записать 
, где λ – некоторое произвольное число. То есть
.
Отсюда
т.е.
или 
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.
Координаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора называются координатами точки М. Вектор называется радиус – вектором точки М, обозначается 
, т.е. 
. Следовательно, координаты точки – это координаты ее радиус-вектора
|
|
|
или 
.
Координаты точки М записываются в виде 
Координаты вектора
Найдем координаты вектора 
, если известны координаты точек 
и 
. Имеем (см. рис.13):
.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала:
 |
|
|
|
