 |
И перпендикулярности двух прямых
|
|
|
|
Пусть прямые 
и 
заданы уравнениями с угловыми коэффициентами 
и 
(см. рис. 46).
Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .
Решение: Имеем 
(теорема о внешнем угле треугольника) или 
Если 
, то 
Но 
, поэтому
|
(10.12)
откуда легко получим величину искомого угла.
 |
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е. 
Если прямые и параллельны, то 
и 
. Из формулы (10.12) следует 
, т.е. 
. И обратно, если прямые и таковы, что , то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: 
.
Если прямые и перпендикулярны, то 
. Следовательно, 
. Отсюда 
, т.е. 
(или 
). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая L уравнением 
и точка 
(см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки 
до прямой L.
Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора 
, где 
– произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора 
. Следовательно,
|
принадлежит прямой L, то 
, т.е. 
Поэтому
(10.13)
что и требовалось получить.
Пример 10.3. Найти расстояние от точки 
до прямой 
Решение: По формуле (10.13) получаем
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
|
|
|
(11.1)
Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.
11.2. Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке 
называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию 
. Пусть точка М в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты 
, а 
– произвольная точка окружности (см. рис. 48).
Тогда из уравнения получим уравнение
|
(11.2)
Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащих на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.
В частности, полагая 
и 
, получим уравнение окружности с центром в начале координат 
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид 
При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при 
и 
равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение 
текущих координат
Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения 
и 
получим
(11.3)
Преобразуем это уравнение:
т.е.
т.е.
(11.4)
Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии, 
Ее центр находится в точке 
, а радиус 
. Если же 
, то уравнение (11.3) имеет вид 
. Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).
Если 
, то уравнение (11.4) а, следовательно, и равносильное уравнение (11.3) не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть – не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
|
|
|
Эллипс
|
|
|
