И перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 46). Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .
Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или Если , то Но , поэтому (10.12)
откуда легко получим величину искомого угла. Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т.е. Если прямые и параллельны, то и . Из формулы (10.12) следует , т.е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т.е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: . Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L. Решение: Расстояние d от точки до прямой L равно модулю проекции вектора , где – произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора . Следовательно,
(10.13)
что и требовалось получить. Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой
Решение: По формуле (10.13) получаем
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
(11.1) Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.
11.2. Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка М в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты , а – произвольная точка окружности (см. рис. 48). Тогда из уравнения получим уравнение
(11.2)
Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащих на окружности. Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности. В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) коэффициенты при и равны между собой; 2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и получим (11.3) Преобразуем это уравнение: т.е. т.е. (11.4) Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии, Ее центр находится в точке , а радиус . Если же , то уравнение (11.3) имеет вид . Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус). Если , то уравнение (11.4) а, следовательно, и равносильное уравнение (11.3) не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть – не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
Эллипс
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|