 |
Асимптотами которой служат оси координат
|
|
|
|
Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (
. Ее каноническое уравнение
(11.2)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения 
и 
и, следовательно являются биссектрисами координатных углов.
Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат 
(см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол 
. Используем формулы поворота осей координат (их вывод показан в 9.3):
Подставляем значения 
и 
в уравнение (11.12):
Подставляем значения и в уравнение (11.12):
Уравнения равносторонней гиперболы, для которой оси 
и 
являются асимптотами, будут иметь вид 
.
Дополнительные сведения о гиперболе
Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:
|
Так как для гиперболы 
, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: 
. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует, что 
, т.е. 
и 
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение 
ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен 
. Действительно,
Фокальные радиусы 
и 
для точек правой ветки гиперболы имеют вид 
и 
, а для левой – 
и 
.
Прямые 
называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы 
, то 
. Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной.
Директрисы гиперболы имеют то же свойство 
, что и директрисы эллипса.
Кривая, определяемая уравнением 
, так же есть гипербола, действительная ось 
которой расположена но оси , а мнимая ось 
– на оси . На рисунке 59 она изображена пунктиром.
|
|
|
Очевидно, что гиперболы 
и 
имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Парабола
Канонические уравнения параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается p 
.
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат 
так, чтобы ось проходила через фокус 
перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к , а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты 
, а уравнение директрисы имеет вид 
, или 
.
Следовательно,
Пусть 
– произвольная точка параболы. Соединим точку M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:
, а
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
|
.
(11.13)
Исследование форм параболы по ее уравнению
1. В уравнении (11.13) переменная входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси ; ось является осью симметрии параболы.
2. Так как 
, то из (11.13) следует, что 
. Следовательно, парабола расположена справа от оси .
3. При 
имеем 
, следовательно, парабола проходит через начало координат.
4. При неограниченном возрастании x модуль y также неограниченно возрастает.
Парабола 
имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка 
называется вершиной параболы, отрезок 
называется фокальным радиусом точки M.
 |
|
, 
, 
также определяют параболы, они изображены на рисунке 62.
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена 
, где 
, В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
|
|
|
Общее уравнение линий второго порядка
|
|
|
