Асимптотами которой служат оси координат
Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (
. Ее каноническое уравнение

(11.2)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения
и
и, следовательно являются биссектрисами координатных углов.
Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат
(см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол
. Используем формулы поворота осей координат (их вывод показан в 9.3):

Подставляем значения
и
в уравнение (11.12):

Подставляем значения
и
в уравнение (11.12):

Уравнения равносторонней гиперболы, для которой оси
и
являются асимптотами, будут иметь вид
.
Дополнительные сведения о гиперболе
Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:
Так как для гиперболы
, то эксцентриситет гиперболы больше единицы:
. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует, что
, т.е.
и 
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение
ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен
. Действительно,

Фокальные радиусы
и
для точек правой ветки гиперболы имеют вид
и
, а для левой –
и
.
Прямые
называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы
, то
. Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной.
Директрисы гиперболы имеют то же свойство
, что и директрисы эллипса.
Кривая, определяемая уравнением
, так же есть гипербола, действительная ось
которой расположена но оси
, а мнимая ось
– на оси
. На рисунке 59 она изображена пунктиром.
Очевидно, что гиперболы
и
имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Парабола
Канонические уравнения параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается p
.
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат
так, чтобы ось
проходила через фокус
перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к
, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты
, а уравнение директрисы имеет вид
, или
.

Следовательно,
Пусть
– произвольная точка параболы. Соединим точку M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:
, а


Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

.
| |
т.е.
(11.13)
Исследование форм параболы по ее уравнению
1. В уравнении (11.13) переменная
входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси
; ось
является осью симметрии параболы.
2. Так как
, то из (11.13) следует, что
. Следовательно, парабола расположена справа от оси
.
3. При
имеем
, следовательно, парабола проходит через начало координат.
4. При неограниченном возрастании x модуль y также неограниченно возрастает.
Парабола
имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка
называется вершиной параболы, отрезок
называется фокальным радиусом точки M.
Уравнения

,

,

также определяют параболы, они изображены на рисунке 62.

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена
, где
, В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
Общее уравнение линий второго порядка
Воспользуйтесь поиском по сайту: