 |
Определение векторного произведения
|
|
|
|
Три некомпланарных вектора 
, 
и 
, взятые указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1) перпендикулярен векторам и , т.е. 
и 
;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис.17), т.е.
 |
, где 
,
3) векторы и и образуют правую тройку.
 |
Векторное произведение обозначается 
или 
. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами 
, 
и 
(см. рис. 18):
, 
, 
.
Докажем, например, что .
1) 
;
2) 
, но 
;
3) векторы , и образуют правую тройку (см. рис. 16).
7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. 
(см. рис.19).
Векторы и 
коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Стало быть
.
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. 
.
Пусть 
. Вектор 
перпендикулярен векторам и 
. Вектор 
также перпендикулярен векторам и (векторы и 
лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
и
.
Поэтому 
. Аналогично доказывается при 
.
3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. 
.
|
|
|
Если 
, то угол между ними равен 
или 180°. Но тогда 
. Значит, 
.
Если же , то 
. Но тогда 
или 
, т.е. .
В частности, 
.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
.
Примем без доказательства.
Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов , и :
|
|
|
| |
|
| 
|
| -
|
|
| -
|
|
|
|
|
| -
|
|
Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользоваться схемой:
 |
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает – третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора 
и 
. Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
,
т.е.
. (7.1)
Полученную формулу можно записать еще короче:
|
(7.2)
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.
Некоторые приложения векторного произведения
Условие коллинеарности векторов
Если 
, то (и наоборот), т.е.
.
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов и 
, т.е. 
. И, значит, 
.
 |
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила 
и пусть О – некоторая точка пространства (см. рис.20).
Из физики известно, что моментом силы 
относительно точки О называется вектор 
, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
;
3) образует правую тройку с векторами 
и 
.
|
|
|
Стало быть, 
.
 |
Нахождение линейной скорости вращения
Скорость 
точки M твердого тела, вращающегося с угловой скоростью 
вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера 
, где 
, где O – некоторая точка оси (см. рис. 21).
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
|
|
|
