 |
Определение геометрического произведения, его геометрический смысл
|
|
|
|
Рассмотрим произведение векторов 
, 
и 
, составленное следующим образом: 
. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
 |
Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор 
(см. рис. 22).
Имеем: 
, где 
– площадь параллелограмма, построенного на векторах и , 
для правой тройки векторов и 
для левой, где 
– высота параллелепипеда. Получаем: 
, т.е. 
, где 
– объем параллелепипеда, образованного векторами , и .
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. 
.
Действительно в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и смешанного умножения, т.е. 
. Действительно и 
. Знак в правой части этих равенств берем одни и те же, так как тройки векторов , , и , , – одной ориентации.
Следовательно, 
. Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде 
без знаков векторного и скалярного умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. 
, 
, 
.
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
|
|
|
4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и тогда и только тогда, когда они компланарны.
Если 
, то 
, , – компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом 
. Но так как 
, то получили бы 
. Это противоречит условию: .
Обратно, пусть векторы , , – компланарны. Тогда вектор 
будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , , , и, следовательно 
. Поэтому 
, т.е. .
Выражение смешанного произведения через координаты
Пусть заданы векторы 
, 
, 
. Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и смешанного произведений:
. (8.1)
Полученную формулу можно записать короче:
,
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
Некоторые приложения смешанного произведения
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов , и основано на следующих соображениях. Если 
, то , , – правая тройка; если 
, то , , – левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю 
:
векторы , , компланарны.
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как 
, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен 
.
Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки 
и 
. Найти объем пирамиды.
Решение. Находим векторы , , :
.
Находим :
|
|
|
.
Следовательно, 
.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.
 |
Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба берут обычно одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О – началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Оx), другую – осью ординат (осью Оy) (рис. 23).
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат − вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят
плоскость на четыре области – четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают 
и 
.
Систему координат обозначают Oxy (или 
), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Oxy. Вектор 
называется радиус-вектором точки М.
Координатами точки М в системе координат Oxy () называются координаты радиус-вектора . Если 
, то координаты точки М записываются так: 
, число х называется абсциссой точки М, у – ординатой точки М.
Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.
Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp,
называемой полярной осью, и единичным вектором 
того же направления, что и луч Оp.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).
Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут 
, при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом.
|
|
|
Для построения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком 
(или 
), а полярный радиус – 
. В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось с положительной полуосью Ох. Пусть х и у – прямоугольные координаты точки М, а r и φ – ее полярные координаты.
 |
Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:
Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:
Определяя величину φ, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что 
.
Пример 9.1. Дана точка 
. Найти полярные координаты точки М.
Решение: Находим r и φ:
Отсюда 
Но так как точка М лежит в 3-й четверти, то 
и 
. Итак, полярные координаты точки М есть 
, т.е. 
.
|
|
|
