 |
Уравнения плоскости в пространстве
|
|
|
|
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве 
можно задать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве плоскость Q задана точкой 
и вектором 
, перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку 
и составим вектор
 |
.
При любом расположении точки М на плоскости Q векторы 
и 
взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: 
, т.е.
|
(12.3)
Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них 
).
Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат x, y и z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку 
. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) – уравнением связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x, y и z:
. (12.4)
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например 
, перепишем уравнение (12.4) в виде
(12.5)
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнениями плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку 
.
|
|
|
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1. Если 
, то оно принимает вид 
. Этому уравнению удовлетворяет точка 
. Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
2. Если 
, то имеем уравнение 
. Нормальный вектор 
перпендикулярен оси 
. Следовательно, плоскость параллельна оси ; если В = 0 – параллельна оси Оу, А = 0 – параллельна оси Ох.
3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через параллельно оси Oz. Аналогично, уравнениям 
и 
отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид 
, т.е. 
. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично уравнениям 
и 
отвечают плоскости, соответственно параллельные плскостям Оyz и Oxz.
5. Если 
, то уравнение (12.4) примет вид 
, т.е. 
. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: 
– уравнение плоскости Oxz; 
– уравнение плоскости Оyz.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки 
, 
и 
, не лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы 
, 
, 
. Эти векторы лежат на плоскости Q,следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем 
, т.е.
|
(12.6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки a, b и c, т.е.
проходит через точки 
, 
и 
(см. рис. 70).
Подставляя эти координаты в уравнение (12.6), получаем
Раскрыв определитель, имеем 
, т.е. 
или
|
|
|
(12.7)
Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
|
|
|
