Тема 4. Качество процессов управления

ТЕМА 4. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

4. 1. Ошибка регулирования и ее составляющие

 

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособности САР. Комплекс требований, которым должна удовлетворять САР в установившемся и переходном процессах при обработке заданного воздействия, объединяется понятием качества процесса управления. Это такие требование как:

- точность регулирования в установившемся режиме;

- колебательность переходного процесса;

- быстродействие системы.

Качество процесса управления (регулирования) можно определить по ошибке регулирования. В свою очередь ошибку регулирования можно найти из следующей расчетной схемы:

e

U

yЭ

WП

W0

W0С

ФЭ

g

d

V

y

+

 

 

-

+

    

 

+

-

 

где W₀ – передаточная функция объекта регулирования;

  W_П, W_0С  – передаточные функции автоматического регулятора в прямой      цепи и цепи обратной связи;

  Ф_Э – передаточная функция идеальной эталонной системы.

d = yЭ - y

    Ошибка регулирования:                                       (4)

 

Или для соответствующих изображений по Лапласу при нулевых начальных условиях

ê (S) = Y_Э(S) – Y(S) = (Ф_Э(S) – Ф(S)) G(S) – Ф_V(S)V(S) (4. 1)

где Ф(S), Ф_V(S) – передаточные функции замкнутой системы по заданию и возмущению относительно регулируемой величины y.

d = e

    В частном случае, когда W_0С= Ф_Э=1, то

 

и ê (S) = Ф_gd (S)G(S) + Ф_Vd(S)V(S),                                           (4. 2)

где Ф_{g, d}(S), Ф_Vd(S) – передаточные функции относительно ошибки регулирования по заданию и возмущению соответственно, Ф_{g, d}= ;

Ф_Vd = -W₀ / (1+W_ПW₀).

    Если записать и решить соответствующее (4. 1) дифференциальное уравнение, то ошибка регулирования, как функция времени, будет содержать две составляющие:

 

d(t) = d_УСТ(t) + d_ПЕР(t).

    При этом переходная составляющая d_ПЕР(t) является общим решением однородного дифференциального уравнения и равна

d_ПЕР(t) = с_ie^Sit,

где S_i – некратные корни характеристического уравнения, причем в устойчивой системе

t®¥

lim d_ПЕР(t) = 0.

 

Кроме того, если Ф_Э = К_Э, то y_{Э ПЕР}(t)º 0 и

d_ПЕР(t) = y_{Э ПЕР}(t) - y_ПЕР(t) = - y_ПЕР(t) = y_УСТ(t) - y(t).

Установившаяся составляющая ошибки d_УСТ(t) является частным решением дифференциального уравнения системы и характеризует точность регулирования в установившемся режиме.

Типовые воздействия и соответствующие виды установившихся ошибок САР

 

1. При ступенчатом воздействии g(t) = A₀× 1(t): d_УСТ = d_СТ, то есть установившаяся ошибка – это статическая ошибка.

2. При линейно изменяющемся воздействии g(t) = A₀ + A₁t: d_УСТ = d_СK, установившаяся ошибка называется скоростной.

3. При параболическом воздействии g(t) = A₀ + A₁t + A₂t²/2: d_УСТ = d_УСK – ошибка по ускорению.

4. При полиномиальном воздействии g(t) = A_itⁱ/i! + A₀: d_УСТ = d_ДИН – динамическая ошибка.

5. При гармоническом воздействии g(t) = g_msin(wt + j): d_УСТ = d_ДИН, так как любую периодическую функцию можно рассматривать как сумму дискретных членов разложения ее в ряд Фурье.

2). САР с одним интегрирующим звеном при g(t) = A0 + A1t.

Примеры:

1). Статическая САР при g(t) = A₀× 1(t) и Ф_Э=1;

 

 

d_УСТ = y_ЭУСТ – y_УСТ = d_СТ;                 d_УСТ = y_ЭУСТ – y_УСТ = d_СК = const;

d_ПЕР = y_УСТ – y.                                          d_ПЕР = y_УСТ – y.

4. 2. Методы расчета установившихся ошибок САР

 

1. Статический расчет применяется для определения статических ошибок по уравнениям статики (по статическим характеристикам)

2. Расчет по теореме о предельном значении функции, применяется для определения постоянных во времени установившихся ошибок

t®¥

s®0

y(t)

e=d

d_УСТ = lim d(t) = lim{Sê (S)}

 

где ê (S) = L{d(t)} = Ф_gd(S)G(S) + Ф_vd(S)V(S).

Пример:

g(t) = A₀ + A₁t

s®0

d_СК = lim =

 

s®0

= lim

 

3. Частотный метод расчета динамических ошибок применяется при гармонических воздействиях:

 

d_ДИН(t)=g_M |Ф_gd(jw₁) |sin(w₁t + j₁ + argФ_gd(jw₁) +

+ V_M |Ф_vd(jw₂)| sin(w₂t + j₂ + argФ_vd(jw₂).

d

e

WP(P)

W0(P)

g(t)

V(t)

y(t)

W = WP W

В частном случае, если САР имеет единичную обратную связь и Ф_Э=1, то амплитуды ошибок будут равны:

 

 

 если |W(jw₁)| > > 1,

 если |W(jw₂)| > > 1, то есть

приближенно амплитуда ошибки прямопропорциональна амплитуде входного воздействия и обратнопропорциональна АЧХ обратной связи (ОС) по рассматриваемому воздействию на заданной частоте.

 

4. Метод коэффициентов ошибок применяется для расчета динамических ошибок при полиномиальных воздействиях (как задающих, так и возмущаюших).

Рассмотрим вывод расчетной формулы на примере расчета установившейся ошибки по задающему воздействию:

ê (S) = Ф_gd(S) G(S)                        (3)

Разложим Ф_gd(S) в окрестности S=0 в степенной ряд Макларена:

Ф_gd(S) = с₀ + с₁S + c₂S² + … + c_lS^l + …, (4)

Где c₀= Ф_gd(0), c₁=  c_l=     (5)

Заметим, что в общем степенной ряд (4) бесконечен, однако для определения ошибки с помощью формулы (3) достаточно определить конечное число членов ряда (4), равное (l+1), где l – старшая не равная нулю производная от входного воздействия g(t). Подставляя (4) в (3) и переходя от изображений к оригиналу, получим, что при g(t)=

, (6)

где с₀, с₁, …, c_l – коэффициенты ошибок, соответственно статической ошибки, ошибки по скорости, по ускорению и т. д.

    Отметим также, что коэффициенты ошибок могут быть определены не только по формулам (5), но и путем деления числителя соответствующей передаточной функции Ф_gd на ее знаменатель по известному правилу деления многочленов. При этом слагаемые числителя и знаменателя передаточной функции располагают в порядке возрастания степени S. В частности,

b₀+b₁S+b₂S²+…+b_mS^m              a₀+a₁S+a₂S²+…+a_nSⁿ

         

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: