 |
4.8. Косвенные методы и оценки качества переходных процессов. Корневые оценки
|
|
|
|
4. 8. Косвенные методы и оценки качества переходных процессов. Корневые оценки
Эти методы и оценки не требуют построения переходного процесса и их можно выразить достаточно просто через коэффициенты уравнения и параметры системы.
| a |
Корневые оценки характеризуют расположение корней характеристического уравнения А(S)=0 на комплексной плоскости и применимы тогда, когда передаточная функция системы по рассматриваемому каналу не содержит нулей, т. е. Ф(S)=k/A(S).
| Рис 3. 8 |
область, внутри и на границе которой расположены все корни характеристического уравнения принято изображать в виде трапеции. Она характеризует три оценки:
1). h-степень устойчивости. Она равна модулю расстояния от мнимой оси до ближайшего корня. h определяет доминирующий вещественный или пару комплексных корней, которые соответствуют наиболее медленно затухающей составляющей переходного процесса. Поэтому h характеризует длительность переходного процесса. Действительно, если учесть, что
се-htp=0. 05c, где с - постоянная интегрирования, то время регулирования tP = 
.
При этом, если ближайший к мнимой оси корень вещественный, то h-апериодическая, если ближайшая к мнимой оси пара комплексно-сопряженных корней, то h-колебательная.
2). Колебательность m=tgq. Она характеризует максимальное перерегулирование sМ. Однако, однозначная связь между m и sМсуществует только для колебательного звена.
3). Корневая оценка x характеризует влияние на переходный процесс малых параметров системы, обычно это малая постоянная времени. Причем, если x ³ 10h, то малыми постоянными времени можно пренебречь.
|
|
|
Заметим также, что найти рассмотренные корневые оценки можно с помощью корневых методов, к которым относятся:
1. Метод смещенного уравнения.
2. Метод отображения (обобщенный метод D-разбиений).
3. Метод корневого годографа.
4. 8 Метод смещенного уравнения
Пусть задано характеристическое уравнение:
a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an=0.
Необходимо найти степень устойчивости h. Делаем замену комплексной переменной на z=s+l, где l³ 0 – вещественная величина. После подстановки s=z-l получаем так называемое смещенное уравнение
b0(l)zn+b1(l)zn-1+…+bn-1(l)z+bn(l)=0.
Коэффициенты этого уравнения зависят от l, а корни zi находятся на l ближе к мнимой оси, чем корни Si исходного уравнения.
Если теперь для смещенного уравнения системы найти по любому из критериев устойчивости граничное значение l, то
lГР=h
| Рис 4. 9. 1 |
| Рис 4. 8. 3 |
| Рис 4. 8. 2 |
| S1 |
| l |
| h |
| jw |
| a |
| Z1 |
4. 9. Метод отображения
Он позволяет отобразить в плоскости варьируемых параметров системы границу допустимого расположения корней ее характеристического уравнения. В частности это может быть:
1). Граница заданной степени устойчивости hЗ=const – это прямая
| a |
2). Граница допустимых значений h и m - это ломаная abcd.
3). Граница допустимых значений h, m и x - это трапеция bcef.
Для отображения указанных границ на плоскость варьируемых параметров системы необходимо: в характеристическом уравнении системы изменять комплексную переменную S вдоль соответствующей границы и для каждого значения переменной S решать его относительно варьируемых параметров.
Пример: для САР с характеристическим уравнением z3+xz2+yz+1=0 необходимо найти область в плоскости X, Y, где h³ hЗ. Делаем подстановку z=-hЗ и находим границу заданной апериодической степени устойчивости:
|
|
|
-hЗ3+xhЗ2-yhЗ+1=0.
| Рис 4. 9. 2 |
| XY=1-устойчивое |
| Граница заданной колебательной h |
| Граница заданной апериодической степени устойчивости |
устойчивости делается подстановка z=-hЗ+jw, где -¥ £ w£ ¥.
При такой подстановке характеристическое уравнение распадается на два: вещественное и мнимое. Эти уравнения содержат две неизвестные X и Y, которые можно найти в параметрической форме. Эти выражения и будут уравнениями искомой границы заданной степени устойчивости.
|
|
|
