4.8. Косвенные методы и оценки качества переходных процессов. Корневые оценки
4. 8. Косвенные методы и оценки качества переходных процессов. Корневые оценки Эти методы и оценки не требуют построения переходного процесса и их можно выразить достаточно просто через коэффициенты уравнения и параметры системы.
Корневые оценки характеризуют расположение корней характеристического уравнения А(S)=0 на комплексной плоскости и применимы тогда, когда передаточная функция системы по рассматриваемому каналу не содержит нулей, т. е. Ф(S)=k/A(S).
область, внутри и на границе которой расположены все корни характеристического уравнения принято изображать в виде трапеции. Она характеризует три оценки: 1). h-степень устойчивости. Она равна модулю расстояния от мнимой оси до ближайшего корня. h определяет доминирующий вещественный или пару комплексных корней, которые соответствуют наиболее медленно затухающей составляющей переходного процесса. Поэтому h характеризует длительность переходного процесса. Действительно, если учесть, что се-htp=0. 05c, где с - постоянная интегрирования, то время регулирования tP = При этом, если ближайший к мнимой оси корень вещественный, то h-апериодическая, если ближайшая к мнимой оси пара комплексно-сопряженных корней, то h-колебательная. 2). Колебательность m=tgq. Она характеризует максимальное перерегулирование sМ. Однако, однозначная связь между m и sМсуществует только для колебательного звена. 3). Корневая оценка x характеризует влияние на переходный процесс малых параметров системы, обычно это малая постоянная времени. Причем, если x ³ 10h, то малыми постоянными времени можно пренебречь.
Заметим также, что найти рассмотренные корневые оценки можно с помощью корневых методов, к которым относятся: 1. Метод смещенного уравнения. 2. Метод отображения (обобщенный метод D-разбиений). 3. Метод корневого годографа.
4. 8 Метод смещенного уравнения
Пусть задано характеристическое уравнение: a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an=0. Необходимо найти степень устойчивости h. Делаем замену комплексной переменной на z=s+l, где l³ 0 – вещественная величина. После подстановки s=z-l получаем так называемое смещенное уравнение b0(l)zn+b1(l)zn-1+…+bn-1(l)z+bn(l)=0. Коэффициенты этого уравнения зависят от l, а корни zi находятся на l ближе к мнимой оси, чем корни Si исходного уравнения. Если теперь для смещенного уравнения системы найти по любому из критериев устойчивости граничное значение l, то lГР=h
![]()
4. 9. Метод отображения
1). Граница заданной степени устойчивости hЗ=const – это прямая
2). Граница допустимых значений h и m - это ломаная abcd. 3). Граница допустимых значений h, m и x - это трапеция bcef. Для отображения указанных границ на плоскость варьируемых параметров системы необходимо: в характеристическом уравнении системы изменять комплексную переменную S вдоль соответствующей границы и для каждого значения переменной S решать его относительно варьируемых параметров. Пример: для САР с характеристическим уравнением z3+xz2+yz+1=0 необходимо найти область в плоскости X, Y, где h³ hЗ. Делаем подстановку z=-hЗ и находим границу заданной апериодической степени устойчивости:
-hЗ3+xhЗ2-yhЗ+1=0.
![]() устойчивости делается подстановка z=-hЗ+jw, где -¥ £ w£ ¥. При такой подстановке характеристическое уравнение распадается на два: вещественное и мнимое. Эти уравнения содержат две неизвестные X и Y, которые можно найти в параметрической форме. Эти выражения и будут уравнениями искомой границы заданной степени устойчивости.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|