4.5. Прямые методы анализа качества переходных процессов

4. 5. Прямые методы анализа качества переходных процессов

 

Это методы, позволяющие тем или иным способом получить кривую переходного процесса:

1. Экспериментальный метод исследования реальной САР или ее физической модели.

2. Метод моделирования САР на АВМ.

3. Аналитический расчет переходных процессов классическим или операторным методом.

4. Численные методы расчета переходных процессов с помощью ЭВМ.

5. Графоаналитический метод расчета по частотным характеристикам (обычно ВЧХ): смотри лабораторную работу №4.

Аналоговое моделирование САР может выполняться в координатах «вход-выход» по структурной схеме системы и в пространстве состояний по уравнениям системы в векторно-матричной форме (нормальной форме Коши). В частности, если уравнения заданы в форме Коши

             ,

то аналоговая модель будет иметь следующий вид:

 

 

…

…

ai1

ain

bi1

bim

x1

xn

u1

um

xi0

xi

 

Аналитический метод расчета переходной характеристики инерционного звена 1-го порядка классическим методом был рассмотрен ранее. Рассмотрим применение классического метода для решения векторно-матричного уравнения САР:  (*), где -заданы.

Найдем вначале свободное движение, т. е. решение однородного уравнения : . Здесь  - экспоненциальная матрица, которую можно представить в виде степенного ряда Макларена:

где I_M – единичная матрица.

Решение же неоднородного уравнения (*) с внешним воздействием определяется формулой Коши:

Тогда                               

X1

X2

1/S

1/S

u

Пример:

 

Уравнение:

Где . Найдем

 

 

   . Тогда

 

 

    то есть

 

4. 6. Связь временных характеристик САР с ее ВЧХ

 

Эта связь может быть найдена на основе известной формулы обратного преобразования Фурье                (8),

где j(е) – весовая функция.

Учитывая, что частотную передаточную функцию можно представить как сумму Ф(jw)=P(jw)+jQ(w), а   e^jwt=cos wt + j sin wt, и            Р(w)-четная, а Q(w) – нечетная функция, то

;       (8)

Кроме того, j(-t)º 0, то есть ; (9)

Суммируя (8) и (9), получим .

Кроме того, .

Основные свойства полученной формулы:

1. Линейность: если Р( )= , то h(t)= , где ;

2. Изменение масштаба по вертикали: если Р₁( )=аР₂( ), то h₁(t)=ah₂(t).

3. Изменение масштаба по горизонтали: если Р₁( )=Р₂(а ), то h₁(t)=h₂(t/а), т. е. если вторая ВЧХ отличается от первой лишь масштабом по оси частот, то соответствующая ей 2-я переходная характеристика отличается от 1-й лишь масштабом по оси времени в соответствующее число раз. В частности:

Рис 4. 7. 1

Рис 4. 6. 4

Рис 4. 6. 3

Рис 4. 6. 2

Рис 4. 6. 1

a=const a> 1

4. Взаимосвязь начального и конечного значений: h(¥ )=P(0) и h(0)=P(¥ ). В частности:

 

    h(0)=P(¥ )=0

 

4. 7. Графоаналитический метод расчета переходного процесса САР по ВЧХ

 

w0

wа

w

Р

Этот метод известен как метод трапеций (треугольников) и основан на применении таблиц h-функций для типовых ВЧХ. Таблица h-функций – это табулированные значения переходных функций, соответствующих типовой трапецеидальной ВЧХ единичной высоты. Типовые ВЧХ отличаются друг от друга коэффициентом наклона бокового ребра ,

где w₀-частота пропускания

w_а-частота равномерного пропускания сигнала.

Табличные значения h-функций рассчитаны в зависимости от относительного безразмерного времени t=w₀t, где t – истинное значение времени.

    Значение h-функций h _i(t) можно найти в справочной литературе в соответствующих таблицах, которые имеют следующий вид:

i  t		0. 1	0. 2	…
0. 01	…	…
0. 02	…

 

Порядок расчета переходных процессов по ВЧХ:

1. Рассчитывают и строят ВЧХ системы.

2.

Рис 3. 7. 2

Аппроксимируют ВЧХ отрезками прямых линий, проводя их горизонтально в начальной точке и в точках экстремума ВЧХ. Причем наиболее точно осуществляют аппроксимацию на малых частотах. На высоких частотах, когда |P(w)< P(0), соответствующим участком ВЧХ можно пренебречь.

3. Представляют ВЧХ в виде алгебраической суммы полученных трапеций, для каждой из которых находят ее параметры:

1). Трапеция defg:

P₁(0)=dg> 0, w₀₁=gf, ₁=de/gf

2). Трапеция abcd:

P₂(0)=ad< 0, w₀₂=dc, ₂=ab/dc

3). Трапеция orlg:

P₃(0)=og< 0, w₀₃=or, ₃=gl/or.

4. Из соответствующих таблиц выписывают h-функции h _I(t), i=1, 2, 3, …, имеющие коэффициенты наклона более близкие к расчетным.

5. В соответствии со свойствами изменения масштабов ВЧХ и h(t) производят пересчет масштабов табличных h-функций

h_i(t)=P_i(0)h _i(t), где t=t/w_oi.

6. Суммируют алгебраически истинные h-функции и находят искомую переходную характеристику

h(t)= .

Рис 3. 7. 3

y(t)=?

h(t)=y(t)

Заметим, что рассмотренный метод можно применять для расчета не только h(t), но и любого другого переходного процесса, который стремится к постоянному установившемуся значению. Для этого сначала необходимо найти обобщенную ВЧХ, применяя следующее условие эквивалентности:

Ф(S)

g(t)

G(S)

ФОБ(S)

1(t)

1/S

 

т. е.          Ф_ОБ(S) =Ф(S)G(S)

Тогда Р_ОБ(w)=ReФ_ОБ(jw).

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: