Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) законом распределения, если ее плотность вероятности имеет вид
(1) где λ – параметр распределения.
График плотности приведен на рисунке 1:
рис.1
Показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большого числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т.д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.
Функция распределения показательного закона имеет вид
(2)
График выглядит:
рис.2
Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения:
, , = .
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (2): (3)
Значения функции е находят по таблице.
Пример 1: Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,3; 1).
Решение: По условию, λ=2. Воспользуемся формулой (3).
Ответ: 0,41
Пример 2: Случайная величина Т - время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.
Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в физике, в теории надежности. Оно используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.
Рассмотрим: непрерывную случайную величину Т - длительность безотказной работы прибора. Функция распределения случайной величины Т, т.е. , определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна . Функция называется функцией надежности.
Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид . В этом случае функция надежности имеет вид , т.е. , где λ – интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.
Показательный закон - единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия», т.е. если промежуток времени Т уже длился некоторое время , то показательный закон распределения остается таким же и для оставшейся части промежутка.
Упражнения:
1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью Найти: функцию распределения ; математическое ожидание и дисперсию случайной величины T; вероятность того, чторадиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.
2. Случайная величина X имеет показательное распределение Найти функцию распределения ; вероятность .
3. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром λ=0,4. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, среднее квадратическое отклонение , а также вероятность попадания значений случайной величины X в интервал .
4. Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения Найти: среднее время работы элемента; вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
5. Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 минутам. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является случайной величиной X, распределенной по показательному закону.
Нормальное распределение.
Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.
Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a и , если ее плотность распределения имеет вид
(1), .
Случайная величина Х имеет нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами a и , сокращенно записывается так: .
Функция распределения
непрерывной случайной величины X имеет вид:
Если , то нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным. Плотность стандартной случайной величины имеет вид
Функция распределения случайной величины Х имеет вид
и называется функцией Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа равенством .
Установим смысл параметров нормального распределения Х : и , - среднее квадратическое отклонение.
Можно показать, что для случайной величины Х : , , .
Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес клубней картофеля, величина шума в радиоприемном устройстве, колебания курса акций и т.д.
Вероятность попадания случайной величины Х на заданный участок : . (3)
Через функцию Лапласа выражается и функция распределения нормально распределенной случайной величины Х.
(4)
На практике часто приходиться вычислять вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния а. Пусть таким интервалом будет длины 2 l. Тогда
т.е.
. (5)
Полагая в равенстве (5) , получим По таблице значений для находим: . Следовательно, , т.е. отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания меньше, чем 3 – почти достоверное событие.
Вывод: практически достоверно, что случайная величина Х принимает свои значения в промежутке . Это утверждение называется «правилом трех сигм».
Пример 1: При измерении детали получается случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром мм. Производится 3 независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.
Решение: По формуле (6) находим:
.
Вероятность того, что эта ошибка (погрешность) превышает 2 мм в одном опыте (измерении), равна
.
По теории умножения вероятность того, что во всех трех опытах ошибка измерения превышает 2 мм, равна . Следовательно, искомая вероятность равна 1-0,5958=0,4042.
Ответ: 0,4042
Упражнения:
1. Определить закон распределения случайной величины X, если ее плотность вероятности имеет вид
2. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
3. Пусть . Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы в одном из них X примет значение в интервале .
4. Плотность вероятностей случайной величины X имеет вид
6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: . Найти плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180см.