Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Показательный закон распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) законом распределения, если ее плотность вероятности имеет вид

(1) где λ – параметр распределения.

График плотности приведен на рисунке 1:

рис.1

Показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большого числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т.д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Функция распределения показательного закона имеет вид

(2)

График выглядит:

рис.2

Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения:

, , = .

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (2): (3)

Значения функции е находят по таблице.

Пример 1: Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,3; 1).

Решение: По условию, λ=2. Воспользуемся формулой (3).

Ответ: 0,41

Пример 2: Случайная величина Т - время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Решение: Математическое ожидание М(Т) =400, значит . Искомая вероятность

Ответ:

Показательное распределение используется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в физике, в теории надежности. Оно используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.

Рассмотрим: непрерывную случайную величину Т - длительность безотказной работы прибора. Функция распределения случайной величины Т, т.е. , определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит, вероятность безотказной работы за время t равна . Функция называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение. Ее функция распределения имеет вид . В этом случае функция надежности имеет вид , т.е. , где λ – интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.

Показательный закон - единственный из законов распределения, который обладает свойством «отсутствия последствия», т.е. если промежуток времени Т уже длился некоторое время , то показательный закон распределения остается таким же и для оставшейся части промежутка.

Упражнения:

1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью Найти: функцию распределения ; математическое ожидание и дисперсию случайной величины T; вероятность того, чторадиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.

2. Случайная величина X имеет показательное распределение Найти функцию распределения ; вероятность .

3. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром λ=0,4. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, среднее квадратическое отклонение , а также вероятность попадания значений случайной величины X в интервал .

4. Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения Найти: среднее время работы элемента; вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.

5. Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 минутам. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является случайной величиной X, распределенной по показательному закону.

Нормальное распределение.

Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a и , если ее плотность распределения имеет вид

(1), .

Случайная величина Х имеет нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами a и , сокращенно записывается так: .

Функция распределения

непрерывной случайной величины X имеет вид:

Если , то нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным. Плотность стандартной случайной величины имеет вид

Функция распределения случайной величины Х имеет вид

и называется функцией Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа равенством .

Установим смысл параметров нормального распределения Х : и , - среднее квадратическое отклонение.

Можно показать, что для случайной величины Х : , , .

График плотности распределения вероятности нормального закона - кривую распределения, называемую нормальной кривой (кривой Гаусса).

рис.1

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, вес клубней картофеля, величина шума в радиоприемном устройстве, колебания курса акций и т.д.

Вероятность попадания случайной величины Х на заданный участок : . (3)

Через функцию Лапласа выражается и функция распределения нормально распределенной случайной величины Х.

(4)

На практике часто приходиться вычислять вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния а. Пусть таким интервалом будет длины 2 l. Тогда

т.е.

. (5)

Полагая в равенстве (5) , получим По таблице значений для находим: . Следовательно, , т.е. отклонение случайной величины Х от своего математического ожидания меньше, чем 3 – почти достоверное событие.

Вывод: практически достоверно, что случайная величина Х принимает свои значения в промежутке . Это утверждение называется «правилом трех сигм».

Пример 1: При измерении детали получается случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром мм. Производится 3 независимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.

Решение: По формуле (6) находим:

Вероятность того, что эта ошибка (погрешность) превышает 2 мм в одном опыте (измерении), равна

По теории умножения вероятность того, что во всех трех опытах ошибка измерения превышает 2 мм, равна . Следовательно, искомая вероятность равна 1-0,5958=0,4042.

Ответ: 0,4042

Упражнения:

1. Определить закон распределения случайной величины X, если ее плотность вероятности имеет вид

Найти: а) ; б) ; в) значение коэффициента A; г) ; д) .

2. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

3. Пусть . Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы в одном из них X примет значение в интервале .

4. Плотность вероятностей случайной величины X имеет вид

Найти: а) значение коэффициента C; б) ; в) ; г) ; д) .

5. Известно, что , . Найти D (X).

6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: . Найти плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180см.

Приложения

Приложение 1.

Таблица функции (кривая вероятностей)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,345	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,202	0,1989	01965
1,2	0,1942	0,14919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,126	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,026	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001
4,0	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001
4,1	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001
4,2	0,0001	0,0001	0,0001	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000

Приложение 2.

Таблица функции (функция Лапласа)

0,0

0,00000

0,00399

0,00798

0,01197

0,01595

0,01994

0,02392

0,02790

0,03188

0,03586

0,1

0,03983

0,04380

0,04776

0,05172

0,05567

0,05962

0,06356

0,06749

0,07142

0,07535

0,2

0,07926

0,08317

0,08706

0,09095

0,09483

0,09871

0,10257

0,10642

0,11026

0,11409

0,3

0,11791

0,12172

0,12552

0,12930

0,13307

0,13683

0,14058

0,14431

0,14803

0,15173

0,4

0,15542

0,15910

0,16276

0,16640

0,17003

0,12364

0,17724

0,18082

0,18439

0,18793

0,5

0,19146

0,19497

0,19847

0,20194

0,20540

0,20884

0,21226

0,21566

0,21904

0,22240

0,6

0,22575

0,22907

0,23237

0,23565

0,23891

0,24215

0,24537

0,24857

0,25175

0,25490

0,7

0,25804

0,26115

0,26424

0,26730

0,27035

0,27337

0,27637

0,27935

0,28230

0,28524

0,8

0,28814

0,29103

0,29389

0,29673

0,29955

0,30234

0,30511

0,30785

0,31057

0,31327

0,9

0,31594

0,31859

0,32121

0,32381

0,32639

0,32894

0,33147

0,33398

0,33646

0,33891

1,0

0,34134

0,34375

0,34614

0,34849

0,35083

0,35314

0,35543

0,35769

0,35993

0,36214

1,1

0,36433

0,36650

0,36864

0,37076

0,37286

0,37493

0,37698

0,37900

0,38100

0,38298

1,2

0,38493

0,38686

0,38877

0,39065

0,39251

0,39435

0,39617

0,39796

0,39973

0,40147

1,3

0,40320

0,40490

0,40658

0,40824

0,40988

0,41149

0,41308

0,41466

0,41621

0,41774

1,4

0,41924

0,42073

0,42220

0,42364

0,42507

0,42647

0,42785

0,42922

0,43056

0,43189

1,5

0,43319

0,43448

0,43574

0,43699

0,43822

0,43943

0,44062

0,44179

0,44295

0,44408

1,6

0,44520

0,44630

0,44738

0,44845

0,44950

0,45053

0,45154

0,45254

0,45352

0,45449

1,7

0,45543

0,45637

0,45728

0,45818

0,45907

0,45994

0,46080

0,46164

0,46246

0,46327

1,8

0,46407

0,46485

0,46562

0,46638

0,46712

0,46784

0,46856

0,46926

0,46995

0,47062

1,9

0,47128

0,47193

0,47257

0,47320

0,47381

0,47441

0,47500

0,47558

0,47615

0,47670

2,0

0,47725

0,47778

0,47831

0,47882

0,47932

0,47982

0,48030

0,48077

0,48124

0,48169

2,1

048214

0,48257

0,48300

0,48341

0,48382

0,48422

0,4861

0,48500

0,48537

0,48574

2,2

0,48610

0,48645

0,48679

0,48713

0,48745

0,48778

0,48809

0,48840

0,48870

0,48899

2,3

0,48928

0,48956

0,48983

0,48010

0,49036

0,49061

0,49086

0,49111

0,49134

0,49158

2,4

0,49180

0,49202

0,49224

0,49245

0,49266

0,49286

0,49305

0,49324

0,49343

0,49361

2,5

0,49379

0,49396

0,49413

0,49430

0,49446

0,49461

0,49477

0,49492

0,49506

0,49520

2,6

0,49534

0,49547

0,49560

0,49573

0,49585

0,49598

0,49609

0,49621

0,49632

0,49643

2,7

0,49653

0,49664

0,49674

0,49683

0,49693

0,49702

0,49711

0,49720

0,49728

0,49736

2,8

0,49744

0,49752

0,49760

0,49767

0,49774

0,49781

0,49788

0,49795

0,49801

0,49807

2,9

0,49813

0,49819

0,49825

0,49831

0,49836

0,49841

0,49846

0,49851

0,49856

0,49861

3,0

0,49865

0,49869

0,49874

0,49878

0,49882

0,49886

0,49889

0,49893

0,49896

0,49900

3,1

0,49903

0,49906

0,49910

0,49913

0,49916

0,49918

0,49921

0,49924

0,49926

0,49929

3,2

0,49931

0,49934

0,49936

0,49938

0,49940

0,49942

0,49944

0,49946

0,49948

0,49950

3,3

0,49952

0,49953

0,49955

0,49957

0,49958

0,49960

0,49961

0,49962

0,49964

0,49965

3,4

0,49966

0,49968

0,49969

0,49970

0,49971

0,49972

0,49973

0,49974

0,49975

0,49976

3,5

0,49977

0,49978

0,49979

0,49980

0,49981

04,9981

0,49982

0,49983

3,6

0,49984

0,49985

0,49986

0,49987

0,49988

0,49989

3,7

0,49989

0,49990

0,49991

0,49992

3,8

0,49993

0,49994

0,49995

3,9

0,49995

0,49996

0,49997

4,0

0,499968

4,5

0,499997

5,0

0,4999997

Приложение 3.

Таблица значений функций Пуассона:

m	λ	0, 1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0		0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066
1		0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3596	0,3659
2		0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
3		0,0002	0,011	0,0033	0,072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
4		-	0,0001	0,0003	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
5		-	-	-	0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
6		-	-	-	-	-	-	0,0001	0,0002	0,0003

m	λ	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
0		0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001
1		0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011
2		0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050
3		0,0613	0,1805	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150
4		0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,037
5		0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607
6		0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911
7		0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1045	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171
8		-	0,0009	0,0081	0,0298	0,0655	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318
9		-	0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0689	0,1014	0,1241	0,1318
10		-	-	0,0008	0,053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186
11		-	-	0,0002	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970
12		-	-	0,0001	0,0006	0,0034	0,0113	0,0264	0,0481	0,0728
13		-	-	-	0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504
14		-	-	-	0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324
15		-	-	-	-	0,002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194
16		-	-	-	-	-	0,003	0,0015	0,0045	0,0109
17		-	-	-	-	-	0,001	0,0006	0,0021	0,0058
18		-	-	-	-	-	-	0,0002	0,0009	0,0029
19		-	-	-	-	-	-	0,0001	0,0004	0,0014
20		-	-	-	-	-	-	-	0,0002	0,0006
21		-	-	-	-	-	-	-	0,0001	0,0003
22		-		-	-	-	-	-	-	0,0001

Ответы

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89Следующая

Воспользуйтесь поиском по сайту: