Слушатели: Одна.. Слушатель: 4?

Слушатели: Одна.

А. С.: Граней?

 

Слушатель: 4?

А. С.: Нет, одна грань. Эта одна и та же грань. Посмотрите, из любой точки грани я могу пройти в любую другую, не пересекая рёбра. А это значит, что грань одна.

На торе сейчас всего одна грань, одна вершинка и два ребра. Поэтому В – Р + Г = 0.

И всегда для тора будет ноль.

А к чему я приду на сфере, когда сниму все возможные ре­бра и вершины? Какой объект получится? (То есть мы не хотим останавливаться на сети в виде двух граней, охватывающих сферу сверху и снизу, как выше, а хотим сделать ее еще проще. ) Я утвер­ждаю, что в итоге останется просто голая сфера с одной вершиной. Все ребра будут сняты.

Слушатель: И как получится два?

А. С.: Вот как. У вас одна вершина, одна грань и ноль ребер.

Почему я не могу снять и точку тоже? Потому что, если я ее сниму, останется сфера, которая топологически не похожа на ква‑

 

– 0 + 1 = 2 (см. рис. 39).

драт. А вот, если я сферу проколол... Что происходит с камерой мяча, который проткнули иголкой? Ои сдувается и превращается (если сильно увеличить место прокола и наложить на плоскость) в лоскут в плоскую фигуру. Сфера отличается от плоского кус­ка только одной точкой. Очень хорошо это понимают грузины, бу­ряты и тувинцы. Они делают большие пельмени (хинкали. позы и буузы).

 

Как их делают? Берут кусок теста, поднимают за края, слепля­ют, и получается сфера. Так что в топологии можно сказать, что сфера отличается от круга всего одной точечкой. Отсюда и возни­кает одна точка и ноль ребер.

Давайте к одной вершине добавим одно ребро (рис. 40). Что изменилось? Добавилось одно ребро и одна грань. То есть у нас одна вершина, одно ребро и две грани. Странно смотрится замкну­тое ребро на рис. 40? Давайте тогда поставим еще одну вершину (рис. 41).

 

Итак: 2 вершины. 2 ребра. 2 грани: 2 – 2 + 2 = 2.

Не бывает двугранников? Да еще образованных двумя «дву­угольниками»? Хорошо. Чтоб не было сомнений, добавим еще две вершинки. Получится квадрат на сфере, то есть п = 4.

 

4 вершины, 4 ребра, 2 грани: 4 – 4 + 2 = 2. Упорно получается значение «2».

Можно остановиться в любой момент, посчитать количество вершин, ребер и граней. Но вы должны понимать, что всегда можно привести к ситуации, в которой останется одна вершина. Поэтому у любой картинки на сфере эйлерова характеристика равна двум, ибо эту картинку можно свести к простейшему случаю «одна вер­шина, одна грань, ноль ребер».

Мы получаем противоречие. На торе всегда ноль, а на сфере – два. Но 2 не равно 0. Значит, это разные топологические фигу­ры, что, впрочем, каждый из вас и так знал. Но вопрос не в том, чтобы доказать очевидный факт, а в том, чтобы наработать язык, который поможет нам этот факт заметить в других пространствах. В частности, в пространстве большего числа измерений. А в боль­шем числе измерений верно в точности то же самое, только по­является то, что называется «трехмерные грани». И получается следующее выражение:

В^Р + Г^Т.

Здесь Т – количество трехмерных граней. Так выглядит эйлеро­ва характеристика для четырехмерного пространства, в котором лежит трёхмерный объект. В общем случае у формулы тот же вид В^Р + Г^Т +... и так далее, в n‑ мерном пространстве, кото­рое довольно сложно представить. Если изучить, что происходит при стирании вершины, ребра, грани, трехмерной грани, будет об­наруживаться, что значение нашего выражения не изменится. Вот основываясь на примерно таких вещах, но гораздо более сложных, была установлена справедливость гипотезы Пуанкаре.

В 2002 году, когда доказали гипотезу Пуанкаре, газета «Изве­стия» напечатала о ней статью. Помнится, в СССР было 2 основ­ных газеты: «Правда» и «Известия». И все знали, раз написано в газете «Известия», значит факт. Но в 2002 году «Известия» от­ступили от этого замечательного правила, написав математиче­скую формулировку гипотезы Пуанкаре в таком виде, в котором она являла собой полную чушь. Они не удосужились позвонить ни одному грамотному математику и очень сильно опозорились (впрочем, мало перед кем).

А теперь – обещанное в первой лекции доказательство того, что в футбольном мяче ровно 12 пятиугольных лоскутков.

Рисуем на сфере картину футбольного мяча. Он должен состо­ять из шестиугольных и пятиугольных лоскутков. В любой верши­не должны сходиться ровно 3 ребра. В остальном он может быть совершенно произвольным.

Давайте обозначим за ж – число шестиугольников, за у – чи­сло пятиугольников.

Сколько тогда граней у нашего многогранника, нарисованного на сфере, то есть на футбольном мяче?

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: