 |
Изменение. Объяснение демонстрации
|
|
|
|
Изменение
Теона
тического отношения сти (изначальный
Рабочая книга 4
Объяснение демонстрации
Мы начнем данную демонстрацию с теоре- между квадратом и его диагональю: с Единично- квадрат, монада), когда и сторона, и диагональ равны 1. Мы продолжим порождение теоретического отношения между стороной и диагональю, следуя модели (данной Теоном), заключающейся в прибавлении стороны к диагонали единичного квадрата, для того, чтобы получить сторону квадрата 2, затем удвоенная сторона первого квадрата прибавляется к диагонали единичного квадрата, для того, чтобы получить диагональ квадрата 2. Первоначальный шаг и сама процедура может на данный момент звучать абсурдно, но примите эту концепцию, и вы увидите, как она работает геометрически.
КВАДРАТ А-1 диагональ =1 сторона = 1
сторона = 2 Прибавьте чтобы полу-
Прибавьте величину диагонали квадрата 1 к стороне квадрата 1, для того, чтобы получить сторону квадрата 2: 1 + 1 = 2.
КВАДРАТ А-2 диагональ = 3
удвоенную сторону квадрата 1 к диагонали, равной 1, для того, чить диагональ квадрата 2, т. е. 1+2 = 3.
Затем прибавьте величину диагонали квадрата 2 к стороне квадрата 2, для того, чтобы получить сторону квадрата 3: 2 + 3 = 5.
КВАДРАТ А-3 диагональ = 7 сторона = 5
Затем прибавьте удвоенную величину стороны квадрата 2 к диагонали квадрата 2, для того, чтобы получить диагональ квадрата 3:
3 + (2 х 2) = 7.
Отношение стороны к диагонали теоретических квадратов изменится с 1: 1 на 3: 2 и на 7: 5. Квадрат 4 будет иметь диагональ равную 7 + (2 х 5) = 17 и сторону 5 + 7 = 12.
Продолжая такое порождение, мы следуем тому же правилу: прибавь величину стороны квадрата к величине диагонали, что дает нам величину стороны следующего большего квадрата, а затем прибавь удвоенное значение стороны к величине диагонали, что даст величину диагонали следующего большего квадрата:
|
|
|
Квадрат 12 3 4 5 6
Сторона 1 2 5 12 29 70
диагональ(корень) 13 7 17 41 99
Отношение корня к стороне, как это показано ниже: 2: 3, 5: 7, 12: 17, 29: 41 и т. д., дает коэффициенты, которые при пятом разложении с высокой точностью до десятых дают нам значение V2(41/29 = 1, 414286. ), которое мы используем в настоящее время. Эти коэффици- ты, колеблясь, сначала сверху, затем снизу, том опять сверху всесильнее приближаются к совершенному иррациональному состоянию. Это, в дополнение к ритмическому изменению, ясно выражает концепцию движения в сторону совершенства по мере того, как ся аспекты роста все ближе и ближе подходят к обусловившему этот процесс корню. Способность к разделению содержит в себе и ность возвращения к причине, обусловившей это.
| оковое число | Квадрат | Удвоенный квадрат | Диагональное число | Квадрат на диагональном числе | Разница |
| 2 - 1 | |||||
| 8 + 1 | |||||
| 50 - 1 | |||||
| 288 + 1 | |||||
| 1682 - 1 |
Эта прогрессия может продолжаться бесконечно, а приведенная выше таблица подтверждает мистическое утверждение
Теона о том, что квадрат, построенный на диагонали, всегда будет в два раза больше квадрата, построенного на стороне, но при этом на одну единицу больше или меньше.
Рисунки 4. 1и 4. 2. Теоретическая числовая прогрессия отношений стороны к диагонали показана вместе с геометрическим развитием,
для того чтобы продемонстрировать графически, насколько быстро последовательность целых чисел приближается к иррациональной функции V2. Из центра в точкеАна данном единичном квадрате радиусом АА' проведите дугу, пересекающую ось X в точке В. Из центра в точке Урадиусом УВпроведите полуокружность, пересекающую ось Y в точке В'. Из центра в точке В радиусом ВВ' начертите дугу, пересекающую ось X в точкеС(5 единиц). Из центра в точке Y радиусом YC начертите полуокружность, пересекающую ось Y в точке C, для того чтобы найти квадрат 3 и его прирост вдоль оси X, повторите те же операции для получения квадратов 4, 5...
|
|
|
Корень квадрата 1 становится приростом квадрата 2; корень квадрата 2 становится приростом квадрата 5; корень квадрата 5 становится приростом квадрата 12.
Комментарии к Рабочей книге 4
Если мы начертим диаграмму прогрессии Теона, которая, колеблясь, то сверху, то снизу все ближе подходит к иррациональному центру, то получим общую модель сходящейся волны. Компьютерный анализ показывает, что эти отношения после многих итераций все сильнее приближаются к иррациональному корню, а затем постепенно отходят от этого значения. Мы получаем таким образом общую конфигурацию схождения- расхождения. Можно также нарисовать трехмерную кривую, которая будет выглядеть как спираль, две стороны которой зеркально отображают друг друга, это является таои- стским образом отображения движения больших временных циклов.
Рисунок 4. 2, основанный на демонстрации Теона, взят из книги Р. А. Шваллера де Люби- ча«Храм человеческий», и он представляет собой модель роста, основанную на корне из 2, которой следуют все процессы в природе. В этой модели обнаруживается точное проявление Принципа Изменения через корень из 2: изменения и в отношении силы - энергетические, причинно обусловленные пульсации надрационального корня, - ив отношении формального колебания квадратов, порожденных этой силой.
Если мы вернемся к нашей таблице отношений корня к стороне: 3 к 2, 7 к 5, 17 к 12, 41 к 29, то увидим, что получаются коэффициенты, которые до пятого или шестого знака дают отношение, равное по точности используемому нами в настоящее время значению корня из 2, мы также увидим, что поступили правильно с функциональной точки зрения, начав эту прогрессию с равных между собой стороны и диагонали. Каждый коэффициент, колеблясь, сначала сверху, затем снизу все сильнее приближается к совершенному иррациональному состоянию. Это является основным элементом того, что мы называем Диофантовой математикой, которая лежит в основании числовых прогрессий, которые можно рассматривать как отображения вибрирующих систем, и в которых вибрирующая струна также движется сверху и снизу абстрактного узла или невидимой неподвижной точки. Мы можем более поэтически представить себе этот процесс как модель пульсации Космической Жизни.
|
|
|
Принцип Изменения служил источником метафизической и физической мудрости во многих великих культурах прошлого. Сегодня мы в наибольшей степени наблюдаем его в таоистской философии, особенно в широко распространенном учении Дзен-буддизма, которое многому обязано этому принципу, а также в принципах Ай Чин.
К иллюстрации Пифагора можно добавить прекрасное понимание сути прироста, данное Р. А. Шваллером де Любичем. Когда корень с его способностью к увеличению, росту и распространению выходит за пределы единичности, он формирует в отношении 1 к 2 остальную свою часть, которая геометрически ведет себя аналогично завязи растения. Я здесь имею в виду принцип корня, обладающего способностью, которую ботаники называют «позитивным геотропизмом», другими словами, способностью к распространению вниз, захвату свободных сфер и трансмутации снизу. Росток, таким образом, наделен способностью к «отрицательному геотропизму» или к тому, что обусловливает рост вверх и в стороны, другими словами, к полному восхождению, кульминацией которого является новое семя. Корень и росток, таким образом, являются полярными противоположностями той же самой способности. Если семя посадить в перевернутом положении, то корень немедленно переориентируется и будет расти вниз, а росток, образующий стебель, перевернется и будет расти вверх. Та-оистский учитель сказал бы в отношении этого, что вся жизнь и вся вселенная развиваются посредством изменений. Истина каждого развития
или эволюции состоит в ритмическом изменении и колебании. Все изменяется в сторону своей противоположности. Что касается природного и космического движения, то единственной неотвратимостью является изменение.
|
|
|
Принцип изменения геометрически выражается древним таоистским символом ян и инь. Форма этого символа образуется двумя равными кругами, расположенными внутри большего круга, диаметр каждого малого круга составляет в точности 1/2 большего крута. Отношение диаметра к окружности любого круга равно nC/D = п.
С первого взгляда этот символ предполагает, что деление Единичности (в данном случае она выражается через больший круг, включающий малые) производится на две равные части. Такое деление приводит к статическому равновесию без какой- либо возможности роста. Но именно асимметричное деление, как это было уже проиллюстрировано отношением 1/V2. создает пропорцию, а затем и прогрессию в форме, которую мы называем ростом. Позднее, в главе, посвященной квадратуре круга, мы узнаем об асимметричном принципе, скрывающимся за этимсимволом. Но важно отметить в данном контексте, что окружность двух внутренних кругов равна окружности большего крута: 2xnD/2 = nD. Эти фигуры демонстрируют продолжение первоначального разделения сначала на 4, а затем и на 8 кругов. Этот процесс деления кругов пополам может осуществляться бесконечным образом, и в любой точке при суммировании окружностей меньших кругов эта сумма будет ровно окружности изначального большого круга. Этот процесс можно довести до такого момента, когда волнистая линия и диаметр станут неотличимыми друг от друга, иллюстрируя таким образом парадокс, заключающийся в равенстве окружности диаметру того же
крута. Таким образом, кок и в демонстрации Теона, эта древняя диаграмма показывает, что все развитие в сторону усложнения в своем начале и в своем конце сливается с Единичностью (см. рисунок ниже).
Эта вселенская дихотомия обнаруживается в каждом прорастающем семени. Семя немедленно разделяется на корень и росток. Мы наблюдаем разделение функций: сначала завязь обеспечивает свое собственное питание до тех пор, пока не начнет функционировать корень, затем завязь преобразуется в первые листья, покинувшие оболочку семени, и, наконец, корень принимает на себя функции обеспечения питанием. Эта функция изменения корень/росток геометрически представлена в Рабочей книге 4 (рисунок 4. 2), когда корень одного квадрата равен приросту следующего квадрата с повторением аналогичного действия на каждом последующем квадрате. Этот рисунок иллюстрирует сравнение, которое, как и все сравнения в геометрической философии, относится к трехчленному типу пропорции: a: b:: b: с. В этом случае геометрические корень/росток относятся к универсальному принципу корень/росток таким же образом, как этот принцип относится к проявлению отношения корня к завязи в ботанике. С помощью геометрии мы в большей степени исследуем философские принципы, относящиеся к аналогии и пропорциональности, вместо того, чтобы следовать более косной эквациональной логике.
|
|
|
Числа, которые возникают из треугольника Пифагора со сторонами 3, 4, 5, дают прекрасную симметрию для естественных форм. На рисунке показана последовательность, которая начинается с проявления равностороннего треугольника в природе и заканчивается рядом симметричных фигур, вдохновивших мастеров на создание архитектурных шедевров Возрождения, планы первого этажа которых показаны на рисунке.
V. ПРОПОРЦИЯ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Четырехчленная дискретная пропорция может быть представлена графически подобными треугольниками, образованными пересечением горизонтальной и диагональной осей. Для иллюстрации пропорции
A: В:: E: F или 16: 24:: 12: 18 = 2/3 отложим отрезки E = 12 и A = 16 на обозначенной горизонтальной оси из общего центра в точке О. Возведите перпендикуляр Виз конца отрезка А, так чтобы получить любое желаемое пропорциональное 16 отношение, в данном случае В = 24. Отношение А: В = 2/3. Проведите диагональ из верхнего конца отрезка Втак, чтобы она проходила через 0. Эта диагональ всегда будет пересекать перпендикуляр, опущенный из конца отрезка E, так, что отрезок Fбудет относиться к E в той же пропорции, что и В к A, таким образом, геометрически подтверждая, что когда имеются три члена четырехчленной пропорции, то можно всегда найти четвертый член.
Для того чтобы геометрически отобразить непрерывную трехчленную пропорцию, мы можем воспользоваться теоремой Фалеса, которая говорит, что любой угол,
Целью многих традиционных эзотерических учений являлась переориентация разума на восприятие состояния Единства через последовательность пропорциональных отношений. Пропорция формируется из соотношений, а соотношение представляет собой сравнение двух различных размеров, количеств, качеств или идей, и выражается формулой а: Ь. Соотношение затем образует меру различия: различие, на которое может реагировать, по крайней мере, один из наших органов чувств. Постигаемый мир, таким образом, создан из переплетенных друг с другом структур, о чем Грегори Бейтсон сказал: «различия, которые меняют дело». Таким образом, соотношение а: Ь является не только фундаментальным понятием для всех видов восприятия, оно также дает представление об одном из наиболее основополагающих процессов сознания, в котором символизирует сравнение двух вещей и выступает таким образом элементарной основой для концептуального суждения.
вписанный в полуокружность, будет являться прямым углом.
Пропорция, тем не менее, является более сложной конструкцией, поскольку она представляет собой отношение равенства между двумя соотношениями, иначе говоря, один элемент так относится ко второму, как третий элемент к четвертому: атак относится к Ь, как сотносится к d, или а: Ь:: c: d. Пропорция отображает уровень способности к пониманию, который более тонок и основателен, чем непосредственная реакция на простое различие, которой является соотношение; пропорция в греческой философской мысли была известна под названием аналогия.
Когда наша мысль оперирует четырьмя элементами, т. е. двумя различными соотношениями, наша мыслительная деятельность относится к области проявленного, к миру природы, поскольку четыре является числом-символом, указывающим на конечный, рациональный, измеримый мир воспроизводимых форм.
Так, а: Ь:: c: d является общей формулой четырех соотносящихся друг с другом элементов. То же самое можно отобразить в численном виде: 2: 4:: 3: 6. Пифагорейцы называли эту процедуру мышления дискретной пропорцией четырех членов.
Если теперь мы ограничимся тремя членами, т. е. когда мы поднимемся на один уровень вверх, в сферу принципов или действий (троичность), то обнаружим, что расчет становится более строгим из-за уменьшения количества используемых элементов. Теперь один элемент так относится ко второму
элементу, как второй относится к третьему: а: Ь:: Ь: с.
Здесь крайние члены объединяются посредством среднего, Ь. Греки называли эту пропорцию трехчленной непрерывной, и это свидетельствует о несомненном изменении в условном отображении воспринимаемых и концептуальных процессов. Никомах и другие греческие философы считали ее единственной, которую можно рассматривать как строго аналогическую. Именно познающее лицо (Ь) само формулирует равенство или идентичность между наблюдаемыми различиями (а и с). Познающее лицо уже не стоит в стороне от сравнительной деятельности как в случае с четырехчленным дискретным или дизъюнктивным образом действий, при котором постигаемое различие наблюдается в виде разделенных соотношений или отличительных особенностей.
Наверное, следует привести пример, который будет нам полезен. Наше познание мира осуществляется благодаря нашим органам восприятия, которые чувствительны к различиям в структурах волновых частот, окружающих и наполняющих нашу область осознаваемого. Мы отличаем
красную чашку от зеленой скатерти только потому, что посредством наших зрительных нервов в мозгуформируется волновой образ, который соответствует частотным спектрам, испускаемым чашкой и скатертью. Само познающее лицо, таким образом, представляет собой необходимый связующий элемент при регистрации изменений внешних частотных спектров, при интерпретации и выделении их как объектов, как чашки и скатерти.
Многие философы говорят о достижении состояния понимания, при котором индивидуум постоянно отдает себе отчет об указанной интеграции и настройке, происходящих между видимым вибрационным полем и внутренним полем восприятия. Такой вид осведомленности о восприятии, которую мы сравниваем стрехчленной непрерывной пропорцией, Шри Ауробиндо называет «познанием через отождествление» и рассматривает его как важный этап в процессе духовного развития: при постижении внешнего источника познания мы признаем, что он непрерывным образом связан с нашими внутренними способностями восприятия и познания и что мы постигаем именно эту связь, а не сам внешний объект.
Таким образом, объективный мир находится во взаимной зависимости от физического, ментального и физиологического состояния постигающего индивида и, следовательно, будет изменяться при изменении внутреннего состояния этого индивида. Можно ощутить, как внешний объект выделяется из совокупности нашего внутреннего пространства, объединяя, таким образом, восприятие себя и мира.
Можно ли сказать в таком случае, что трехчленная пропорция в максимальной степени близко подошла к восприятию единства с помощью мышления в терминах пропорциональности? Ответ на этот вопрос будет отрицательным, поскольку имеется одно и только одно пропорциональное деление, которое возможно посредством двух членов. Это происходит тогда, когда меньший член так относится к большему члену, как больший к сумме меньшегос большим. Это записывается следующим образом: а: b:: b: (а + b). Самый большой член (а + b) должен являться целостностью или единством, составленным из суммы двух других членов.
Исторически этой уникальной геометрической пропорции из двух членов было дано имя «Золотая пропорция», и она обозначалась 21-ой буквой греческого алфавита, буквой фи (ф), хотя она и была известна культурам, гораздо старше греческой.
Существуют два абсолютно разных способа рассмотрения этой, имеющей первостепенное значение, пропорции в отношении Единичности. Первый имеет место тогда, когда больший член (в нашем случае (а + b)) больше 1 или единицы измерения. Второй случай имеет место тогда, когда больший член (а + b) равен единице измерения или 1 (в виде формулы это выражается следующим образом: a: b:: b: 1) Каждый из этих случаев дает важную характеристику ф.
То, чем мы займемся в этой главе, главным образом представляет собой описание в терминах теории множеств всех возможных типов геометрических пропорций. Сначала мы выделим два основных множества геометрических пропорций: множество четырехчленных и множество трехчленных пропорций. Внутри трехчленной непрерывной пропорции мы выделим специальное подмножество, в котором третий член равен сумме первого и второго членов: а-. b:: b: (а + b), так что в действительности в трехчленной пропорции имеются только два члена, а и b. Она называется ф, Золотой пропорцией. Тот факт, что трехчленная пропорция создается из двух членов, является ее первой отличительной чертой и аналогией первой тайне Святой троицы: Троица, которая есть Два.
На первом рисунке (см. ниже) два сравниваемых отрезкалинии разделены таким образом, что а: b:: b: а + Ьили b/а = ф. В первом случае показана пропорция, в которой вся линия больше Единичности. Единичность определяется как отрезок о, а отрезок а, продолжение отрезка о, примыкает к нему, образуя всю линиюа + b. В пропорциональном мышлении отсутствуют фиксированные количественные значения, имеются только зафиксированные отношения. Количественная величина может изменяться, но конфигурация отношений остается той же самой. В данном примере мы зададим, чтобы b = 1 для того, чтобы быть уверенными в том, что целое больше единицы, и что оно представляет собой сумму единицы и другого члена.
Первый член = а h
a a b
Второй член = b=1 —: ----- или------
Третий член = b + а = а+ 1 b а + b а +1
Имеются многочисленные примеры такого типа пропорции, где третий член (а + b) больше первого: в прогрессии ф (Золотого сечения), а также в фундаментальной пропорции V2:
На рисунке, отображающем второй случай, мы присвоили значение единицы целому, а не части (как в первом случае), так что теперь результаты деления целого должны быть меньше 1. Поступая таким образом, мы находим вторую и совершенно уникальную характеристику пропорции ф, которая является единственным геометрическим разделением Единичности. Этот метод присвоения значения является типичным для многих задач, найденных в старейших известных математических текстах из Египта и Вавилона, он был основным методом в древних математических вычислениях. В данном случае
Эти два примера взяты из семейства трехчленных геометрических пропорций, в которых третий член представляет собой сумму единицы и другого члена и поэтому он больше единицы.
Приведенные выше алгебраические выражения полностью показаны в геометрическом виде в Рабочей книге 5. В данном случае у нас корень из аравен корню из b2, так что а и b относятся друг к другу так, как корень относится к квадрату. Это требует, чтобы члена + b = 1 - третий член геометрической пропорции, выступал в данном случае в виде суммы квадрата и его корня = 1. фявляется уникальным разделением, которое удовлетворяет этому свойству: 1/ф + 1/ф2 = 1. Этим заканчивается математическое преобразование в Троицу: «Троица, которая есть Двоич- ность, которая есть Единичность». Это представляет собой окончательное сведение пропорциональной мысли к причинно-обусловленной сингулярности.
Если мы вновь воспользуемся пропорцией как моделью восприятия, основанного на распознавании различий, мы обнаружим в нашей уникальной Золотой пропорции, не выходящей «за пределы» Единичности, случай, когда постигаемое различие (то, которое мы познаем как объект) и лицо, познающее этот объект, представляются как содержащиеся внутри непрерывного осознания всеобъемлющей Единичности: а: b:: b: 1. Такое состояние восприятия соответствует цели динамической медитации.
Золотая пропорция представляет собой постоянное соотношение, полученное из геометрического отношения, которое, как и другие постоянные этого типа, является «иррациональным» в числовом смысле. Поэтому я попробовал не представлять сразу же Золотое сечение в числовом виде, т. е. в виде ф = 1, 6180339... или ф = (V5+ 1)/2, но вместо этого я показал, что, прежде всего и главным образом, это - пропорция, а не число, пропорция, на которой основывается практика познания (логос).
В каком-то смысле Золотая пропорция может рассматриваться как надрациональное или трансцендентное. Она фактически является первым проявлением состояния Единства, которое представляет собой единственно возможную созидательную двойственность внутри Единичности. Можно было бы сказать, что она является наиболее сокровенным отношением, которое может возникнуть между пропорциональным существованием - вселенной - и Единичностью, являющейся изначальным или первичным разделением Единицы. По этой причине древние называли ее «золотой», идеальным разделением, а христиане связывали этот символ пропорциональности с Сыном Господа.
Можно было бы спросить: почему Единичность не может просто разделиться на две части?
Почему бы не иметь пропорцию из одного члена: а: о? Ответ заключается в том, что при равенстве отсутствуют различия, а без различия отсутствует воспринимаемая вселенная, поскольку как говорят Упанишады: «Знаем ли мы об этом или нет, но все вещи начинают свое существование с того момента, когда они начинают постигаться». В статическом эквациональном утверждении одна часть обнуляет другую.
Ассиметричное разделение нужно для того, чтобы создать динамику, которая необходима для развития и расширения Единичности. Поэтому ф-пропорция является идеальным разделением единства: она созидательна, хотя вся пропорциональная вселенная, возникшая благодаря ей, взаимодействует сама с собой и в прямом смысле содержится в себе, поскольку ни один член первоначального разделения не выходит, так сказать, за рамки непосредственной гармонии с первоначальным разделением Единичности. Это является главным различием между разделением Единичности на корень из 2 и ее разделением наф, и каждая указанная пропорция является геометрической. Как демонстрирует геометрия последней, через создание 72мы немедленно выходим за рамки первоначального квадрата (см. Рабочую книгу 1). Она знаменует начало бесконечной, вечно расширяющейся прогрессии и разрастания, уводящего все дальше и дальше от первоначальной Единичности. Нет возможного способа создания с помощью ^геометрического внутреннего разделения Единичности. Деление наф, с другой стороны, предоставляет модель эволюции, которая своей целью имеет образ совершенства первоначальной Единичности.
Для анализа этих двух прогрессий мы должны вспомнить несколько основных идей грамматики нашего геометрического языка. Фигура квадрата, такая как ф2, отображает первый план проявленного: формирование идеи или образа, в котором идея впервые становится постижимой. Фигура куба, такая как ф3, отображает то же самое понятие, идею или образ в его проявленной физической объемной форме. Величины, обратные к указанным (1/ф2, 1/ф3), представляют собой те же принципы, содержащиеся в Единичности; т. е. они являются частицами или внутренними частями Единицы, отображающими стадии данных уровней проявленности, которые предшествуют образованию понятий. Давайте также помнить, что Единица является символом Бога. Золотое деление является единственной непрерывной пропорцией, дающей прогрессию, в которой члены, олицетворяющие внешнюю вселенную (ф2, ф3), являются точным, непрерывнопропорциональным отражением внутренней прогрессии (1/ф2, 1/ф3) - созидательной грезы Бога. Прогрессия V2, наоборот, является строго порождающей силой, функционирующей порождающим образом только на внешнем плане.
Давайте вновь противопоставим качества этих двух геометрических прогрессий - ф и V2- как моделей эволюции, в которых прогрессия выступает в роли подходящей аналогии для эволюционного развития, рассмотрев на этот раз фазу эволюции, которая переходит от метафизического, пропорционального принципа к физическому миру. Золотая пропорция обнаруживает не количественное, статистическое развитие (как это имеет место в модели V2, которой соответствует адаптация в духе Дарвина), но, вместо этого, эволюцию, которая руководствуется изнутри, возвышение первоначальных качеств Божественного, формирование идей, непосредственно переходящих от абстрактного к конкретному или видимому; где проявленный мир является образом Божественного, точным воспроизведением или сыном Бога (Единичности). Золотая пропорция является неоспоримым свидетельством, представленным в виде пропорции, возможности осознаваемой эволюции, а также эволюции сознания.
Святой Иоанн писал о созидательном мгновении или первоначальном разделении: «Вначале было Слово (или по-гречески логос, что означает трехчленную пропорцию)... и Слово было с Богом (фразу «с Богом» можно также читать как «в Боге»). и Слово было Бог». Посмотрев внимательно на эти три фразы, можно обнаружить, что они интуитивно описывают геометрические предпосылки Золотой пропорции:
В начале было Слово,
И Слово было с Богом [в Боге],
И Слово было Бог.
Рабочая книга 5
Золотая пропорция
Мы начнем наш поиск геометрического разделения, которое требует только двух членов, с помощью двух геометрических идей, которые уже нам знакомы: прямоугольного треугольника, вписанного в полуокружность (теорема Фалеса), и 72(Рабочая книга 1), который в данном случае будет выступать радиусом этой полуокружности. Как показано на стр. 45, мы можем использовать 72в качестве радиуса, для того чтобы разделить линию на отрезки а, b, с в соответствии с трехчленной геометрической пропорцией.
Рисунок 5. 1а. Разделим внутреннюю поверхность квадрата АБСОдугами, пересекающими линию основания этого квадрата. На этой линии основания мы получим пропорциональные соотношения. Из центра в точке С радиусом СА проведем дугу до пересечения ее с продленной линией основания в точках E и G. Аналогичным образом продлим линию основания до пересечения с дугой, образованной радиусом ОС, получив отрезок OF. Воспользовавшись теоремой о том, что угол, вписанный в полуокружность (диаметр EG), является прямым, соединим точкуАс точками Е и G, так чтобы получились три подобных треугольника:
Поэтомуа. -b;; b: с, и если а/b = b/с, тоЬ2 = ас.
В нашем случае с = 2b + а и а: b;; b; 2b+a.
Рисунок 5. 1b. Мы можем видеть, что деление посредством диагонали, показанное на рис. 5. 1 а, дает значение для b, которое в два
раза больше нужного отношения: мы имеем
Следующим логичным шагом было бы попытаться использовать половину диагонали в качестве радиуса описываемой полуокружности.! Это строится следующим образом:
Проведите радиусом, равным полудиагона- лиАХ квадрата АБСО, дугу так, чтобы получить точкиЕи Fнапродленной в обе стороны линии основания квадрата. По теореме Фалеса
следовательно а: b;; b; a + b
Таким образом мы получаем значения: сторона
квадрата
На основании значений, полученных выше, имеем
Из указанного выше очевидно, что у нас есть только одно возможное разделение какой-либо единицы или целого в соответствии с трехчленной геометрической прогрессией, которая использует только два члена: крайний член = а и средний член = b.
Эта пропорция была названа «разделением на крайний и средний члены» и является той, которую греки назвали ф (фи).
Пусть b = 1, для того чтобы выразить эту пропорцию в виде разделения на 1 или единичность.
Тогда b2 = а2 + ab
Что аналогично 12 = а2+1а
1 = а2+ а
Подставив b = 1, получим а2 + а = 1. Это означает, что а2и а являются частями 1, и выражение должно быть записано в обращенном виде:
Рисунок 5. 1с. Как показывает наше уравнение, выражение а2 + а удовлетворяет определению крайнего и среднего разделения Единичности. Поэтому мы можем вместоэто разделения подставить греческий символ ф:
Давайте теперь пронаблюдаем за той же идеей на примере реальных геометрических площадей. (Миллиметровая бумага будет нам здесь полезна. ) Если b = 1, тогда первоначальный квадрат равен Единице. Из центра в точке ^проведите дугу ЕС. Из центра в точке С проведите дугу FH.
Проведите GJпараллельно DC, так чтобы образовался прямоугольник DCHGи квадрат CFJH. 
Таким образом мы геометрически доказали единственное разделение Единичности на крайний и средний члены с использованием геометрических площадей: DFGJ = ABCD = 1.
Рисунок 5. 1d. Сложив прямоугольники DCHGи CF/H, мы получим суммарный прямоугольник DF/Gсо сторонами 1/ф и 1 + 1/фи площадью равной 1. Поэтому
Рисунок 5. 1е. Поскольку ф = 1/ф +1, то сторона AGпрямоугольника ABHG = 1 + 1/ф = ф. Площадь ABHG= 1хф=ф.
АВНСявляется Золотым прямоугольником.
Рисунок 5. 1f.
площадь BKFC = 1 x 1/ф = 1/ф площадь AK/G = ф х ф = ф 2 Но площадь AK/G = ABCD + BKFC+ CF/H + DCHG
= (1 + 1/ф)+ (1/ф 2+1/ф)
= (ф) + (1) (при подстановке)
ф 2 = ф+ 1 - ф +1
площадь AK/G ф 2
Эта иллюстрация заимствована из Философской геометрии, автором которой является Андре ванденБрек.
Рисунок 5. 2. Геометрически Золотая пропорция ф неразрывно связана с функцией V5 и пятиугольником, которые мы обсуждали в Рабочей книге 3. Будет полезно понять геометрию, в которой особое значение играет это отношение. Ниже приводится метод порождения Золотой пропорции из 75и прямоугольника ф сторонами, относящимися как 1: 2.
Начертите двойной квадрат и продлите разделяющую линию EF. Из центра в точке ^радиусом GA, равным половине диагонали, начертите дугу, пересекающую EFb точке Н.
- коэффициент Золотой пропорции.
Таким образом Золотой прямоугольник /БРИобразуется с помощью диагонали V5 прямоугольника, образованного двумя единичными квадратами.
Рисунки 5. 3а и 5. 3b. Отношение ф к V5 и пятиугольник. Из квадрата АБРЕпостроим НК = V3. Из центров в точкахЕи F радиусом РМпроведем дуги ИЫи KN. Из центров в точках Е и Ррадиусом РБпроведем дуги, пересекающие дуги ИNи Шв точках 0 и ^соответственно. 
При измерении с помощью циркуля можно видеть, что точки О, N и Р, а также две точки на линии основания квадратаЕи Fобразуют группу из пяти равноудаленных точек. Соединим точки F, Е, О, N, Ри получим пятиугольник или Пентагон.
Это построение обнаруживает важное отношение в пятиугольнике: сторона пятиугольника относится к ее диагонали как 1: (V5+ 1)/2 или 1: ф, что представляет собой Золотое сечение.
Рисунки 5. 4аи 5. 4b. Эти два рисунка не носят ключевого характера для понимания ф, но более увлеченные читатели найдут их полезными.
Рисунок 5. 4а. Нарисуйте круг с координатными осями. Не изменяя раствор циркуля, из центра в точке S начертите дугу, пересекающую окружность в точках 1 и 2. Соедините эти точки для определения средины радиуса окружности в точке 3. Из точки 3 проделайте построения, указанные в Рабочей книге 3, ри-
Диагональ пятиугольника является средним геометрическим между диаметром описанной окружности и высотой пятиугольника.
сунок 3. 3. Когда радиус равен единице, сторона вписанного пятиугольника равна по теореме Пифагора (1 + 1/(р2)= 1, 17557.
2/1, 90211-1, 90211/1, 809 = 1, 05147 Отношение 18/19 представляет собой интерес, поскольку оно является одним из отношений, используемых для определения полутона в музыке, а также является отношением, которое определяет лунный и солнечный год в цикле затмений. Древние египтяне основывали свои критерии роста человека на этом отношении, отсчитывая 18 единиц до бровей и 19 - до макушки головы.
