Угол между двумя плоскостями

 

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Полуплоскости P₁ и Q₁ (рис. 56) образуют двугранный угол.

Из геометрии известно, что за меру двугранного угла принимают величину его линейного угла (Ð АВС, см. рис. 56).

Пример. Заданы следы плоскостей Р и Q. Требуется определить проекции угла между плоскостями (рис. 57).

Решение: Определяется линия пересечения плоскостей Р и Q (линия MN, см. рис. 57). Строится вспомогательная плоскость S, перпендикулярная линии MN: точка S_X выбирается произвольно, след S_V проводится перпендикулярно линии m’n’, след S_H – перпендикулярно линии mn.

Определяется линия пересечения плоскостей Р и S (линия AD, см. рис. 57).

Находится точка пересечения линий KD и MN – точка В.

Определяется точка “С”, расположенная на линии пересечения плоскостей Q и S.

Точки b и c, b’ и c’ соединяются прямыми.

В результате построения получают две проекции угла АВС - Ð abc иÐ a’b’c’.

 

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ

 

Понятия и определения.

К способам преобразований ортогональных проекций относятся способы вращения, совмещения и перемены плоскостей проекций.

Сущность способов заключается в том, что они дают возможность переходить от общих положений геометрических объектов относительно плоскостей проекции к частным положениям.

Достигается это:

1. Изменением положения геометрического объекта путем вращения его вокруг некоторой оси так, чтобы объект оказался в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций – способ вращения, или частный случай - способ совмещения.

Заменой системы плоскостей проекций новой системой так, чтобы геометрический объект, не изменяя своего положения в пространстве, оказался в каком – либо частном положении относительно новой системе плоскостей проекций – способ перемены плоскостей проекций. [2,7]

 

Способ вращения

Пусть, например, необходимо определить натуральную величину отрезка АВ способом вращения (рис.58,а)

Через точку а’ проводится ось ПМ перпендикулярно плоскости Н. При вращении прямой АВ вокруг оси вращения точка А будет неподвижной, а точка В будет описывать окружность. Поскольку плоскость вращения точки В перпендикулярна оси АМ, то на горизонтальной проекции траекторией движения будет окружность с центром в точке а и радиусом R = ab. На фронтальной проекции траекторией движения точки В будет являться линия, проведенная через точку b' параллельно оси Х (см.рис.58,а).

На горизонтальной проекции прямая ab поворачивается вокруг точки a до положения, когда она будет параллельна оси Х (прямая ab₁ - см.рис.58).

Точка b₁ проецируется на линию, проведенную через точку b’ × параллельно оси Х – точка b’₁. Новое положение прямой АВ – a’ b₁ определяет натуральную величину отрезка АВ.

На рис. 58,б показано определение натуральной величины отрезка СD вращением вокруг оси DN, перпендикулярной плоскости V.

Пример1. Заданы плоскости Р и Q следами. Требуется определить угол наклона плоскости Р к плоскости Н и плоскости Q к плоскости V (рис. 59).

Решение: Определяется натуральная величина угла , составленного плоскостями Р и Н:

Выбирается ось вращения m’n’, перпендикулярная плоскости Н и расположенная в плоскости V (см.рис.59,а).

Из точки n’ опускается перпендикуляр на след Рн. Точка К – основание перпендикуляра.

След Рн поворачивается вокруг точки Õ n’ до положения, когда между осью Х и следом образуется угол 90° (точка К₁).

Точка m’ расположена на следе Рv. Очевидно, при вращении плоскости Р вокруг оси m’n’ точка m’ будет неподвижной. Она и определит положение следа Рv₁ совместно с точкой К₁ (Рх).

В результате выполненных преобразований получили фронтально – проектирующую плоскость Р₁. Угол образованный следом Рv₁ и осью Х представляет натуральную величину угла наклона плоскости Р к плоскости Н (угол a°, см.рис.59,а).

Определяется угол, образованный плоскостями Q и V. Ось вращения плоскости располагается в плоскости Н перпендикулярно плоскости V (ось ab – см.рис.59,б).

След Qv поворачивается вокруг точки а до положения, когда между следом и осью Х образуется угол 90°. В результате получают новое положение следа - Q_v1.

 

 

 

След Q_H1 определяется положением неподвижной точки “ в ” расположенной на следе Qн и точкой С₁.

Из рис.59,б видно, что после преобразования плоскость Q стала горизонтально – проектирующей плоскостью. Угол, образованный следом Q_H1 и осью Х является натуральной величиной угла наклона плоскости Q к плоскости V.

Пример2. Заданы проекции треугольника АВС. Требуется определить натуральную величину фигуры вращением вокруг ее горизонтали (рис.60).

Решение: Проводится горизонталь a’Õ d’ и определяется ее горизонтальная проекция. Прямая АD принимается за ось вращения фигуры.

Определяется центр и радиус вращения точки В. На горизонтальной проекции из точки b опускается перпендикуляр на прямую ad. Точка К – основание перпендикуляра, является центром вращения точки В.

Находится натуральная величина отрезка BK (отрезок b₁K, см.рис.60).

Определяется центр вращения точки С. Точка t, основание перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую ad, является центром вращения точки С вокруг прямой АD.

Прямая ВК поворачивается вокруг оси AD до положения, когда она будет параллельна плоскости Н.

Очевидно, для определения такого положения достаточно прямую b₁k совместить с прямой bk вращением вокруг точки k (прямая b₂k, см.рис.60).

При вращении фигуры вокруг оси AD точка С будет перемещаться по прямой, проходящей через точку t и перпендикулярной прямой ad. Следовательно, для определения нового положения точки С достаточно найти точку пересечения прямых b₂ d и ct – точка С₂.

Точки а, b₂ иС₂ соединяются прямыми. В результате получают горизонтальную проекцию фигуры а b₂ С₂, представляющую натуральную величину треугольника АВС.

 

Способ совмещения

Сущность способа заключается в том, что плоскость общего положения, заданная следами, совмещается с одной из плоскостей проекций вращения вокруг следа плоскости.

Способ совмещения применяется для определения натуральной величины фигуры, расположенной в плоскости или для определения положения геометрического объекта относительно следов плоскости. [4,7]

Пример1. Заданы координаты точки С и следы плоскости, в которой расположена рассматриваемая точка. Требуется определить расстояние от точки С до следов плоскости (рис.61).

Решение: Через точку С проводится горизонтально – проектирующая плоскость Q перпендикулярно следу Р_н и находится линия пересечения плоскостей Р и Q - (линия MN, см.рис.61).

Треугольник mnn’ совмещается с плоскостью Н вращением вокруг линии mn. В результате получают положения точек П₁ , С₁ (см.рис.61).

 

 

 

Точку n₁ вращают вокруг точки m до совмещения ее со следом Q_н - точка n₂. Через точки Р_х и n₂ проводят след P_v1 , определяющей (совместно со следом Р_н) положение плоскости Р, совмещенное с плоскостью Н вращением вокруг следа Р_н.

Пример2. Задана проекция треугольника АВС, расположенная в плоскости Р.

Требуется определить натуральную величину фигуры, совмещая плоскость Р с плоскостью Н вращением вокруг следа Р_Н (рис. 62).

Решение: Через вершину В треугольника АВС проводится горизонтально-проектирующая плоскость Q и находится линия пересечения плоскостей Р и Q (линия MN, см. рис. 62).

Плоскость Р поворачивается вокруг следа Р_Н до совмещения ее с плоскостью Н: определяется последовательно положение точки n₁ затем точки n₂ и через точки Р_Х и n₂ проводится след P_VI.

Определяется положение точки В вращением точки b₁ вокруг точки m.

Для определения точек А и С стороны ab и bc треугольника продлеваются до пересечения со следом Р_Н. Точки k и t – точки пересечения сторон треугольника со следом Р_Н.

Полученный таким образом треугольник kbt поворачивается вокруг неподвижной оси kt до положения, когда точка b совпадет с точкой В. при этом точки а и с будут перемещаться по линиям, перпендикулярным следу Р_Н0. Пересечение этих линий со сторонами В k и B t треугольника B kt определит положения точек А и С (см. рис. 62).

В результате построения получен треугольник АВС, представляющий натуральную величину заданной фигуры.

Пример 3. задан треугольник АВС, расположенный в плоскости Р, причем эта плоскость совмещена с плоскостью Н.

Требуется построить горизонтальную и фронтальную проекции заданного треугольника (рис. 63).

Решение: Через вершины треугольника проводятся линии А-1, С-2, В-3, параллельные следу Р_Н.

На следе Р_Н выбирается произвольно расположенная точка m. Через нее проводится линия mn₂, перпендикулярная следу Р_Н. Эта линия пересекается с осью Х в точке k.

Через точку k проводится линия kn₁, перпендикулярная прямой mn₂ и линия kn’, перпендикулярная оси Х. Определяется положение точки n’ из условия равенства отрезков kn₁ и kn’.

Через точки Р_Х и n’ проводится след Р_V.

На следе Р_V размечаются точки 1’, 2’, 3’ из условия равенства длин отрезков, определяемых равенством от точек 1, 2, 3 до точки схода следов Р_Х.

Через точки 1’, 2’, 3’ проводятся линии, параллельные оси Х и представляющие горизонтали плоскости Р.

Поскольку вершина треугольника принадлежат плоскости Р, они будут располагаться на горизонталях плоскости.

 

Вершины треугольника последовательно проектируются вначале на горизонтальные проекции горизонталей – (точки a, b, c, см. рис. 63), а затем на фронтальные проекции горизонталей – точки a’, b’, c’.

В результате построения получают проекции заданного треугольника АВС.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: