Способ перемены плоскостей проекций

 

Сущность способа заключается в перемене одной или двух плоскостей проекций так, чтобы получить новое положение геометрического объекта, наиболее удобное для решения задачи.

В большинстве случаев бывает достаточно переменить только одну из старых плоскостей. Если этого недостаточно, то меняют две плоскости, причем последовательно, вначале заменяют одну плоскость, затем другую.

Способ перемены плоскостей проекций позволяет решать широкий круг задач, а именно: 1. Определять истинные размеры фигуры, истинные углы между линиями, между линией и плоскостью.

2. Определять расстояния от точки до линии, до плоскости, определять расстояние между прямыми и др. [3, 7]

Натуральную величину отрезка прямой АВ возможно получить заменой одной из плоскостей проекций, например, плоскости V (рис. 64). Проводится новая ось Х₁ параллельно прямой ab и определяются новые проекции точек А, В: через точки а, b проводятся линии, перпендикулярные оси Х₁.

На них откладываются от оси Х₁ отрезки a’ax и b’bx соответственно. Получают новую фронтальную проекцию прямой АВ – a’₁b’₁.

В результате перемены плоскости V прямая АВ преобразована из общего в частное положение. Из рис. 64 видно, что прямая представляет фронталь. Следовательно, проекция a’₁b’₁ является ее натуральной величиной.

Пример 1. Определить натуральную величину угла наклона плоскости Р, заданной следами к плоскости Н способом перемены плоскостей (рис. 65).

Решение: Производится перемена плоскости : через произвольно расположенную на следе Р_Н точку k проводится ось Х₁ перпендикулярно следу Р_Н.

В точке пересечения осей Х и Х₁ восстанавливается перпендикуляр и определяется его точка пересечения со следом Р_V (точка n’, см. рис. 65).

Определяется новая фронтальная проекция точки N – n’₁.

Через точки k и n’₁ проводится новый фронтальный след плоскости Р – Р_V1.

В результате перемены плоскости V плоскость Р преобразована из плоскости общего положения в фронтально-проектирующую плоскость. Угол, образованный следом Р_V1 и осью Х₁ представляет натуральную величину угла наклона плоскости Р к плоскости Н (угол a, см. рис. 65).

 

Пример 2. Заданы проекции точки А и следы плоскости Р. Требуется определить расстояние от точки А до плоскости Р (рис. 66).

 

Решение: Производится перемена плоскости Н: новая ось Х₁ проводится перпендикулярно следу Р_V.

Определяется новое положение горизонтального следа плоскости Р – Р_Н1.

Строится новая горизонтальная проекция точки А – а₁ (см. рис. 66).

Из точки а₁ опускается перпендикуляр на линию Р_Н1.

Поскольку плоскость Р преобразована в горизонтально-проектирующую плоскость, длина отрезка a₁k определяет расстояние от точки А до плоскости Р.

Рассматривается пример определения расстояния от точки а до плоскости треугольника BCD (рис. 67).

Решение: Через точку b проводится горизонталь b’k’.

Производится замена плоскости V на V₁: новая ось Х₁ проводится перпендикулярно линии bk.

Строятся новые фронтальные проекции точки А и треугольника BCD – a’₁ и b’₁c’₁d’₁.

Из точки a’₁ опускается перпендикуляр на линию b’₁c’₁.

Длина отрезка a’₁t’₁ определяет расстояние от точки А до плоскости фигуры BCD.

Из примеров, показанных на рис. 64, 65, 66, 67 видно, что для решения задачи достаточно было произвести замену одной плоскости проекции.

Рассматриваются примеры замены двух плоскостей проекций.

Пример 1. Заданы проекции треугольника АВС. Требуется определить площадь фигуры. (рис. 68)

Решение: Проводится горизонталь a’b’.

Выполняется перемена плоскости V: новая ось Х₁ располагается перпендикулярно линии ad (см. рис. 68).

Производится замена плоскости Н: ось Х₂ проводится параллельно линии b’₁c’₁ и строится новая горизонтальная проекция фигуры a₁b₁c₁.

Поскольку эта фигура параллельна плоскости Н, следовательно она проектируется на эту плоскость в свою натуральную величину.

Определяется площадь треугольника a₁b₁c₁: из точки a₁ опускается перпендикуляр на линию b₁c₁.

S_Δ-ки = ½· a₁ t₁ · b₁c₁

 

Пример2. Заданы проекции скрещивающихся прямых АВ и СD. Требуется построить проекции общего перпендикуляра к прямым (рис.69).

Решение: Производится замена плоскости V на V₁: ось Х₁ проводится параллельно одной из прямых, например, параллельно прямой ab.

Строятся новые фронтальные проекции прямых АВ и СD - a’₁b’₁ и c’₁d’₁ (рис.69).

Производится замена плоскости Н и Н₁: ось Х₂ проводится перпендикулярно линии a’₁b’₁.

Строятся новые горизонтальные проекции прямых АВ и СD - a₁b₁ и c₁d_1.

 

Из точки a₁ (b₁) опускается перпендикуляр на прямую c₁d_1. Точка m₁ – основание общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. Второе основание перпендикуляра расположенного на прямой a₁b₁ – точка n₁.

Определяются фронтальные проекции точек MN: точка m₁ проектируется на прямую c’₁d’_1. Из точки m₁ опускается перпендикуляр на прямую a’₁b’₁ – точка n’₁.

Строятся проекции m₁n и m’ n’ точек.

 

Пример3. Заданы проекции двух пересекающихся плоскостей АВС и АВD. Требуется определить натуральную величину угла между плоскостями (рис.69).

Решение: Производится замена плоскости V на V₁: ось Х₁ располагается параллельно линии ab.

Строятся новые фронтальные проекции фигур АВС и АВD (рис.69).

Производится замена плоскости Н на Н₁: ось Х₂ проводится перпендикулярно линии a’₁b’₁ и строятся новые горизонтальные проекции фигур АВС и АВD.

В результате построения получены две горизонтально – проектирующие плоскости a₁b₁c₁ и a₁b₁d₁, причем линия пересечения этих плоскостей перпендикулярна плоскости Н₁. Следовательно, линейный угол a° между прямыми a₁d₁ и a₁с₁, и определяет двухгранный угол между плоскостями АВС и АВD.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: