2.4. Зміст розрахункової роботи

2. 4. Зміст розрахункової роботи

Для плоского перерізу, складеного з прокатних профілів, потрібно визначити положення головних центральних осей. Знайти значення моментів інерції перерізу, а також моментів опору перерізу та радіусів інерції відносно цих осей.

 

Приклад виконання розрахункової роботи

Задано переріз, що складається з чотирьох профілів: листа - 1, нерівнобокого кутника - 2, швелера - 3, двотавра - 4. Схема перерізу з номерами профілів приведена на рис. 2. 1.

                                                            Рис. 2. 1

 

1. Виписуємо зі сортамента прокатних профілів необхідні розміри елементів (у сантиметрах) та величини геометричних характеристик перерізу. Заносимо в таблицю вихідних даних 2. 1.

У тому разі, коли положення перерізу в завданні не відповідає розташуванню його в сортаменті прокатних профілів, вносимо зміни до величини геометричних характеристик.

      Наприклад:

 

а) Нерівнобокий кутник: L 80х50х6

Сортамент		Завдання
	49 см4 = 14. 8 см4 F = 7, 55 см2 х0 = 1, 17 см у0 = 2, 65 см
		14. 8 см4 = 49 см4	F = 7, 55 см2 х0 =2, 65 см у0 = 1, 17 см

                                         Рис. 2. 2

 

б) Швелер: № 14

Сортамент		Завдання
b = 5, 8 b = 14, 0	491 см4 = 45. 4 см4 F = 15. 6 см2 х0 =1. 67 см у0 = 0 см
		45. 4 см4 = 491 см4	F = 15. 6 см2 х0 = 0 см у0 = 1. 67 см

Рис. 2. 3

 

в) Двотавр: № 30

Сортамент		Завдання
	7080 см4 = 337 см4 F = 46. 5 см2
		337  см4 = 7080 см4	F = 46. 5 см2

Рис. 2. 4

 

Моменти інерції листа визначаємо так:

(2. 7)            (2. 8)   h = 40 см, b = 1, 2 см

Рис. 2. 5

 

У таблиці сортаменту для нерівнобокого кутника приведені значення мінімального моменту інерції I_min та кута a нахилу осі min, необхідні для визначення відцентрового моменту інерції.

Величину I_max для нерівнобокого кутника знаходимо з умови:

+  = I_min+ I_max

Звідси 

                               I_ymax = +  - I_min                                      (2. 9)

2. Заданий поперечний переріз зображуємо в масштабі (рис. 2. 6).

Для кожного елемента перерізу показані власні центральні осі та розміри, що визначають положення центрів ваги С_і окремих профілів.

3. Визначаємо координати центру ваги усього перерізу. За допоміжну систему координат приймемо осі х₁ у₁, що проходять через центр ваги листа. При такому виборі допоміжної системи обчислення декілька спрощуються.

Координати центру ваги перерізу визначаються за формулами (2. 1):

де S_xi, S_yj - статичні моменти площі перерізів окремих фігур;

х_i, у_і - координати центрів ваги окремих фігур у допоміжній системі координат.

За допомогою рис. 2. 6 знайдемо:

х₁ = 0;

х₂ = 2, 65 + 0, 6 = 3, 25 см,

х₃ = -(7 + 0, 6) = -7, 6см;               

х₄ = 15 + 0, 6 = 15, 6см;

 

у₂ = 40/2 – 1, 17 = 18, 8 см

у₃ = 40/2 – 1, 67 = 18, 33 cм

у₄ = - (40/2 – 6, 75) = -13, 25 см

 

Обчислення проводимо в табличній формі (див. табл. 2. 2). Знайдені значення координат заносимо в стовбці 3, 4 таблиці. У стовбцях 5, 6 обчислюються значення статичних моментів окремих профілів і всього перерізу. За формулами (2. 4) маємо

 

Таблиця 2. 1.

Вихідні дані завдання.

 

№ п/п	Розмір перерізу	F, см2	Центр ваги у власних осях (см)		Ixo см4	Iyo см4	Imin см4	Imax см4	b см	tga
			х0	у0
	-40x1, 2		-	-		5, 8	-	-	-	-
	L8x5x0, 6	7, 55	2, 55	1, 17	14, 8		8, 9	54, 92	-	0, 386
	[ № 14	15, 6	-	1, 67	45, 4	49, 1	-	-	5, 8	-
	I № 30	46, 5	-	-			-	-	13, 5	-

 

 

 

Рис. 2. 6 (М 1: 4)

 

 

Таблица 2. 2
№ п/п	Fi (см2)	yi (см)	xi (см)	Sxi (см3)	Syi (см3)	ai=yi-yc	bi=xi-xc	Перевірка		Ixi (см4)	ai2Fi (см4)	Ixc (см4)	Iyi (см4)	bi2Fi (см4)	Iyc (см4)	Ixiyi (см4)	aibiFi (см4)	Ixcyc (см4)
								Sxi=aiFi	Syi=biFi
						1. 59	-5. 36	76. 3	-257. 3				5. 8				-410	-410
	7. 55	18. 83	3. 25	142. 7	24. 5	20. 42	-2. 11	154. 2	-15. 9	14. 8						15. 5	-328	-312
	15. 6	18. 33	-7. 6	285. 9	-118. 6	19. 92	-12. 9	310. 8	-201. 2	45. 4							-4030	-4030
	46. 5	-13. 25	15. 6	-616. 7	725. 4	-11. 66	10. 24	-542. 2	476. 2								-5547	-5547
	117. 7			-187. 5	631. 3			-0. 9	1. 8									-10310

                                                                                  0, 17% 0, 38%

 

 

Наносимо на рис. 2. 6 координати центру ваги С усього перерізу і проводимо через нього центральні осі х і у. Знайдемо координати центрів ваги окремих фігур у новій системі координат:

a_i = у_ci - у_c, b_i = х_ci - х_c                                       (2. 9)

 

Результати цих обчислень за формулами (2. 6) заносимо в стовбці 7, 8 табл. 2. 2.

Для перевірки правильності обчислень координат центру ваги необхідно порахувати статичні моменти площі перерізу відносно осей х и у:

                                               (2. 10)

які повинні дорівнювати нулю.

Згідно зі стовбцями 9, 10 табл. 2. 2 відносні похибки рівні:

4. Обчислимо осьові та відцентрові моменти інерції усього перерізу відносно центральних осей х, у за формулами (2. 2)

Обчислення за формулами (2. 2) заносяться в стовбці 11-19 табл. 2. 2.

Відцентровий момент інерції кутника обчислюється слідуючим чином. На рис. 2. 7. показано кутник і його головні центральні осі 1, 2.

                                            Рис. 2. 7

 

Для нерівнобокого і рівнобокого кутників осі х та у не є головними, тому відцентровий момент інерції для цих фігур обчисляється за формулами (2. 4).

 

Звідси

                (2. 11)

Відповідно до рисунка 2. 7

tga₂ = tga = 0, 386

см⁴   = 0, 386(49-8, 9)=15, 4см⁴

Для рівнобокого кутника a₁ = a₂ = 45^о, tga_i = ±1.

Таким чином для всього перерізу маємо (див. табл. 2. 2):

    I_x = 22596 см⁴, I_y = 16534 см⁴, I_xy = -10310см4.

5. Обчислимо головні центральні моменти інерції всього перерізу за формулами (2. 3):

I₁ = 30311см⁴, I₂ = 8819см⁴

 

6. Визначаємо положення головних центральних осей 1 і 2 відносно центральної осі х:

= 36⁰ 47^’

= -53⁰ 21^’

Кут a₁ визначає положення головної осі з максимальним моментом інерції, а кут a₂ – з мінімальним.

Відкладаємо за допомогою транспортира головні осі 1 (a₁) і 2 (-a₂)_, (рис. 2. 6).

 

7. Перевірки:

а) Інваріантність моментів інерції

                   I_x + I_y = I₁ + I₂

         22596 + 16534 = 30311 + 8819

                        39130 = 39130

б) Екстремальність моментів інерції:

                I₁ > I_x > I_y > I₂

           30311 > 22596 > 16534 > 8819

аналогічно

                I₂ < I_y < I_x < I₁

в) Перпендикулярність головних осей 1 і 2:

             |a₁| + |a₂| = p/2

      36, 79⁰ + 53, 21⁰ = 90⁰ = p/2.

 

8. Обчисляємо розміри моментів опору відносно головних центральних осей інерції 1, 2 за формулами (2. 5):

см³           см³

h_1max та h_2max - визначаються з урахуванням масштабу згідно рисунка 2. 6.

 

9. Радіуси інерції відносно головних центральних осей визначаються за формулами (2. 6)

            

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: