 |
3.3. Порядок побудови та перевірка епюр Мх та Qу в балках та рамах
|
|
|
|
3. 3. Порядок побудови та перевірка епюр Мх та Qу в балках та рамах
1. Перевірити статичну визначність балки (рами).
2. Визначити опорні реакції та зробити перевірку за допомогою незалежного рівняння рівноваги.
3. Визначити кількість ділянок на балці (рамі).
4. Записати для кожної ділянки аналітичний вираз Мх та Qу для довільного перерізу та знайти значення Мх та Qу у характерних точках ділянки. При необхідності зробити дослідження функцій Мх та Qу в межах кожної ділянки.
5. Побудувати з урахуванням розмірності і знаків значень епюри Мх та Qу.
6. Перевірити епюри Мх та Qу згідно диференціальних залежностей (3. 1).
3. 4. Зміст розрахункової роботи
Для заданих балок, закріплених і навантажених, як показано на рисунку, потрібно:
1) визначити опорні реакції;
2) побудувати епюри поперечних сил та згинаючих моментів, визначивши їх значення у всіх характерних точках, при цьому для кожної ділянки повинні бути записані аналітичні вирази Мх та Qу з повним їх дослідженням.
3) Для рами необхідно побудувати епюри Q, M та N.
Приклад виконання розрахункової роботи
Приклад 1.
Побудувати епюри Мх і Qу для балки (рис. 3. 3).
1. Перевіряємо статичну визначність балки. Для знаходження трьох невідомих реакцій RA, RС та НА маємо три рівняння статики: отже задача статично визначна h = k – 3 = 3 – 3 =0.
2. Визначаємо опорні реакции.
å Z=0, HА=0,
å MA =0; - P1 · 1 + RС · 3 - P2 · 4 – M = 0
å MС = 0; -RA · 3 – M + P1 · 2 - P2 · 1 = 0
3. Перевіряємо знайдені значення реакцій:
|
|
|
å Y = RA - P1 + Rc - P2 = 9 - 18 + 12 - 3 = 0
Реакції знайдені вірно.
Балка має 3 ділянки: АВ, ВС, СD.
4. Записуємо для кожної ділянки аналітичні вираження для Мх та Qу.
I ділянка 0 £ z1 £ 1
Qy = RA = 9 кН = const
RA z1; M(0) = 0; M(1) = 9·1 = 9кНм
 |
Рис. 3. 3
II ділянка 0 £ z2 £ 2
Qу = RA - P2 = 9 - 18 = - 9 кН
Mх = RA (1 + z2) - P1z2 +m; M(0) =15 кНм; M(2) = 3 кНм
III ділянка
Qy = P2 = 3 кН
Mx = - P2z3; M(0) =0; M(1) = -3 кНм.
5. За знайденими значеннями Мх та Qy будуємо епюри (див. рис. 3. 3 б, в відповідно).
6. Використовуємо залежність dМх / dz= Qy для аналізу епюр Мх і Qy:
епюра Мх - графік функції згинаючого момента;
епюра Qy - графік першої похідної від функції Mx.
На I і III ділянках похідна Qy додатня - функція Mx зростає, на II ділянці Qy має від’ємне значення, згинаючий момент M(z) зменшується з 15кНм до -3кНм. Ця закономірність справедлива при переміщенні по балці у додатньому напрямку осі z.
На епюрі Мх маємо стрибок у перерізі, де прикладений зосереджений момент. На епюрі Qу стрибки у перерізах, де діють зосереджені сили P1, RA, P2, Rс.
Приклад 2. Побудувати епюри Qy, Мх для балки на двох опорах (рис. 3. 4).
1. Перевіряємо статичну визначність балки. Для знаходження трьох невідомих реакцій RA, RD та НА маємо три рівняння статики: 3 - 3 = 0. Задача статично визначна.
2. Знаходимо величини опорних реакцій:
å МА=0; q·4·2 + M - RD·6 = 0; 
кН,
å MD=0; q·4·4 - M - RA·6 = 0; 
кН.
Перевіряємо знайдені значення опорних реакцій:
å Fy = RA - q·4+ RD =5-8+3=0.
3. Балка має три ділянки.
4. Записуємо аналітичні вирази Мх та Qу для всіх ділянок.
I ділянка 0 £ z1 £ 4
QIy = RA - qz1 = 3 – 2 z1
Qу(0) =3 кН; Qу(4) =3 - 8 = -5кН;
= 3 z1 – z12; Mх(0) = 0; 
,
при Qy = 
м маємо
кНм
II ділянка 0 £ z2 £ 1
QyІІ = RA - q·4 = 3 – 2 · 4 = -5 кН;
= RA·(4+z2) - q·4(2 +z2)=-5 z2 - 4; M(0) = -4 кНм; M(4) = -9 кНм
III ділянка 0 £ z3 £ 1
|
|
|
QyІІІ = -RD = - 5 кН;
= RD z3 = 5z3 ; M(0) = 0; M(1) = 5 кНм
5. Будуємо епюри Mx та Qy (рис. 3. 4 б, в).
 |
Рис. 3. 4
6. На епюрі Qy стрибки в точках А и D відповідають реакціям RA і RD.
На епюрі Mx стрибок у точці С - на величину М = 14 кНм.
На першій ділянці при 0 £ z £ 1, 5, де Qy > 0 момент зростає від 0 до 2, 25кНм.
На всіх інших ділянках, де Qy < 0, функція моменту зменшується.
Ці висновки мають місце для правостороньої системи координат.
Приклад 3.
Для заданої консольної балки (рис. 3. 5 а) побудувати епюри Mx і Qy і підібрати поперечний переріз у вигляді двотавра, двох швелерів, прямокутника (h=2b) та круга.
1. Перевіряємо статичну визначність заданої балки. Консольна балка є статично визначною системою, тому що в жорсткому защемленні є три реакції RA, HА, MA, для знаходження яких маємо три рівняння статики: 3-3=0.
2. Реакції для консольної балки можна не визначати, а записувати рівняння для Qy та Mx, розглядаючи праву частину від перерізу.
3. Балка має три ділянки.
 |
Рис. 3. 5
4. Записуємо вирази для Qy та Mx для кожної ділянки:
|
|
|
