Исключение из массива первичной информации всех резко

Для расчета линейного коэффициента корреляции по несгруппированным данным могут быть использованы следующие фор­мулы:

где (x-x)— отклонения вариантов значений признака-фактора от их сред-

ней величины;

(y-y)— отклонения вариантов значений результативного признака от

их средней величины;

n - число единиц в совокупности;

, - среднее квадратическое отклонение соответственно признака-
фактора и результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции может принимать зна­чения в пределах от —1 до +1. Чем ближе он по абсолютной вели­чине к 1, тем теснее связь. Знак при нем указывает направление связи: знак «+» соответствует прямой зависимости, знак «-» — обратной

Если коэффициент корреляции равен нулю, то связи между признаками нет; если он равен единице (с любым знаком), то между признаками существует функциональная связь.

Оценка существенности линейного коэффициента корреляции при большом объеме выборки (свыше 500) проводится с использованием отношения коэффициента корреляции (r) к его средней квадратической ошибке()

Если это отношение окажется больше значения t-критерия Стьюдента, определяемого по приложению 6 при числе степеней свободы к = п — 2 и с вероятностью (1 - ), то следует говорить о существенности коэффициента корреляции ( - уровень значи­мости 0,01 или 0,05).

При недостаточно большом объеме выборки величину сред­ней квадратической ошибки коэффициента корреляции опреде­ляют по формуле:

В этом cлучае

Полученная величина t_расч сравнивается с табличным значе­нием t -критерия Стьюдента.

В тех случаях, когда г получен по данным малой выборки, для проверки его существенности целесообразно использовать метод преобразованной корреляции, предложенный Р. Фишером.

Средняя квадратическая ошибка Z-распределения зависит только от объема выборки и определяется по формуле:

По таблице соотношений между у и Z находят значение Z, соответствующее рассчитанному коэффициенту кор­реляции.

Если соотношение Z к средней квадратической ошибке (Z: ) окажется больше табличного значения критерия Стью­дента при определенном уровне значимости, то можно гово­рить о наличии связи между признаками в генеральной сово­купности.

Корреляционное отношение определяется по формулам:

— межгрупповая дисперсия результативного признака, вызванная влиянием признака-фактора;

- общая дисперсия результативного признака; — средняя внутригрупповая дисперсия результативного признака.

где — среднее значение результативного признака в соответствующих

группах, выделенных по величине признака-фактора;

— общая средняя для всей совокупности;

— число единиц в соответствующих группах

— внутригрупповая дисперсия.

Вычисление корреляционного отношения требует достаточно большого объема информации, которая должна быть представле­на в форме групповой таблицы или в форме корреляционной таб­лицы, т. е. обязательным условием является группировка данных по признаку-фактору (изменяется от 0 до 1).

При недостаточном количестве данных в выделенных группам к рассчитанной величине корреляционного отношения вносится поправка

где т — число выделенных групп.

Корреляционное отношение в квадрате () называют коэффициентом детерминации (причинности), он отражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии.

В практике могут быть использованы и другие показатели для определения степени тесноты связи. Элементарной характеристикой степени тесноты связи явля­ет ся

коэффициент Фехнера:

где — количество совпадений знаков отклонений индивидуальных вели­чин факторного признака х и результативного признака у от их средней арифметической величины (например, «плюс» и «плюс», «минус» и «минус», «отсутствие отклонения» и «отсутствие откло­нения»);

— количество несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений изучаемых признаков от значения их средней арифмети­ческой.

Коэффициент Фехнера целесообразно использовать для уста­новления факта наличия связи при небольшом объеме исходной информации. Он изменяется в пределах

- 1,0 К_ф + 1,0.

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что значе­ния этих признаков могут быть проранжированы по степени убы­вания или возрастания, используется коэффициент корреляции рангов Спирмэна:

где di — разность между величинами рангов признака-фактора и результа­тивного признака;

п — число показателей (рангов) изучаемого ряда.

Он варьирует в пределах от -1,0 до +1,0.

Ранговый коэффициент обычно исчисляется на основе не­большого объема исходной информации, поэтому необходимо выполнить проверку его существенности. В приложении 7 приво­дится таблица предельных значений коэффициента корреляции рангов Спирмэна при условии верности нулевой гипотезы об от­сутствии корреляционной связи при заданном уровне значимос­ти и определенном объеме выборочных данных.

Если полученное значение p превышает критическую величи­ну при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т. е. величина p не является результатом случай­ных совпадений рангов.

Для исследования степени тесноты связи между качественны­ми признаками, каждый из которых представлен в виде альтерна­тивных признаков, может быть использован коэффициент ассоци­ации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона.

Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица «четырех полей»), статистическое сказуемое которой схематически может быть представлено в следующем виде (табл. 5.2).

Таблица 5.2

В расчетной таблице:

а, Ь, с, d — частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернатив­ных признаков

n — общая сумма частот.

Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле:

Коэффициент контингенции:

где a, b,c,d— числа в четырехклеточной таблице.

Коэффициент контингенции также изменяется от —1 до +1, но всегда его величина для тех же данных меньше коэффициента ассоциации.

Для оценки тесноты связи между альтернативными признака­ми, принимающими любое число вариантов значений, применя­ется коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона и коэффи­циент взаимной сопряженности А. А.Чупрова.

Первичная статистическая информация для исследования этой связи располагается в форме таблицы (табл. 5.3).

В табл. 5.3:

F i j — частоты взаимного сочетания двух атрибутивных признаков;

n - число пар наблюдений.

Коэффициент взаимной сопряженности К. Пирсона опреде­ляется по формуле

еде - показатель средней квадратической сопряженности

Показатель определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки за минусом единицы.

где f_tj — частоты каждой клетки;

i — номер строки;

Ai — итоговые частоты по строкам;

Aj— итоговые частоты по графам.

Коэффициент взаимной сопряженности А. А. Чупрова исчис­ляется по формуле:

где — имеет одинаковое значение с показателем Пирсона и является показателем взаимной сопряженности;

К_{ — число групп по столбцам таблицы;

К₂ — число групп по строкам таблицы.

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова (К) являет­ся более гибким, поскольку он учитывает число образуемых по каждому признаку групп , поэтому результат является более точным по сравнению с коэффициентом взаимной сопряжен­ности по формуле Пирсона.

Коэффициент взаимной сопряженности изменяется от 0 до 1.

6. После установления достаточной степени тесноты связи вы­полняется построение модели связи (уравнения регрессии).

Тип модели выбирается на основе сочетания теоретического анализа и исследования эмпирических данных посредством пост­роения эмпирической линии регрессии. Чаще всего используют­ся следующие типы функций:

в) параболическая —y _х = а + Ьх + сх²;

г) показательная —y_х = ab*.

Для определения численных значений параметров уравнения связи (линии регрессии) используется метод наименьших квадра­тов и решается система нормальных уравнений.

Для определения параметров а и b уравнения прямолинейной корреляционной связи система нормальных уравнений (для несгруппированных данных) следующая:

Параметры а и b можно определить по следующим формулам:

Для проверки возможности использования линейной функ­ции определяется разность ( — г²); если она менее 0,1, то счита­ется возможным применение линейной функции. Для решения этой же задачи можно использовать величину, определяемую по формуле

где т — число групп, на которое разделен диапазон значений факторного признака.

Если значение окажется меньше табличного значения F-критерия, то нулевая гипотеза о возможности использования в качестве уравнения регрессии линейной функции не опровергается. Зна­чение F-критерия определяется по таблице в зависимости от уровня значимости а = 0,05 (вероятность Р = 0,95) и числа степе­ней свободы числителя (к₁ = т — 2) и знаменателя (к₂ = п — т) (см. приложение 5).

Для определения параметров гиперболической функции сис­тема нормальных уравнений следующая:

В качестве меры достоверности уравнения корреляционной зависимости используется процентное отношение средней квадратической ошибки уравнения (S_e) к среднему уровню результа­тивного признака ():

где y — фактические значения результативного признака;

y— значения результативного признака, рассчитанные по уравне­нию регрессии;

l — число параметров в уравнении регрессии.

Если это отношение не превышает 10 — 15%, то следует счи­тать, что уравнение регрессии достаточно хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.

Полученное уравнение регрессии используется для экстрапо­ляции. Однако ее можно применять лишь тогда, когда существен­но не изменились условия формирования уровней признаков.

Для результативного признака определяются доверительные границы, в пределах которых с заданной доверительной вероят­ностью будет находиться теоретическое значение у. Доверитель­ные границы результативного признака у при значении фактор­ного признака х₀ определяются следующим образом:

где ta — определяется в соответствии с уровнем значимости, по f-распределению Стьюдента с (n- l) степенями свободы.

7. Изучение множественной корреляционной зависимости начи­нается с анализа матрицы парных коэффициентов корреляции, что

позволяет произвести отбор факторов, включаемых в модель множественной зависимости.

Матрица имеет следующий вид (табл.5.4)

Анализ первой строки матрицы позволяет выявить факторы, у которых степень тесноты связи с результативным показателем значительна, а поэтому они могут быть включены в модель. Одна­ко при построении многофакторных моделей должно соблюдать­ся требование возможно меньшей коррелировности включен­ных в модель признаков-факторов (отсутствие мультиколлинеарности). В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то исключается тот фактор или , связь которого с результативным признаком y будет менее тесной.

8. Отобранные факторы включаются в модель множественной зависимости. При этом следует учитывать, что число факторов, включаемых в модель, должно быть в 5 — 6 раз меньше, чем чис­ло единиц, входящих в совокупность.

Линейное уравнение множественной зависимости имеет сле­дующий вид:

Параметры уравнения определяются из системы нормальных уравнений, отвечающей требованиям способа наименьших квад­ратов.

Если зависимость выражена уравнением

yx1x2=a+b1x1+b2x2, то система нормальных уравнений следующая:

Мерой достоверности уравнения является процентное отно­шение средней квадратической ошибки уравнения к среднему уровню результативного показателя, так же как в случае парной корреляции.

9. Для измерения степени тесноты связи между изменениями ве­личины результативного признака (у) и изменениями значений фак­торных признаков определяется коэффициент множественной (со­вокупной) корреляции (R).

Для случая зависимости результативного признака от двух факторных признаков формула совокупного коэффициента кор­реляции имеет вид:

Если число факторов-признаков более двух, то совокупный коэффициент корреляции определяется следующим образом:

где - матрица парных коэффициентов корреляции;

— соответствует матрице парных коэффициентов корреляции () без верхней строки и первого столбца.

Величина R² называется коэффициентом детерминации; она показывает, в какой мере вариация результативного признака обусловлена влиянием признаков-факторов, включенных в урав­нение множественной зависимости.

Величина совокупного коэффициента корреляции изменяет­ся в пределах от 0 до 1 и численно не может быть меньше, чем лю­бой из образующих его парных коэффициентов корреляции. Чем ближе он к единице, тем меньше роль неучтенных в модели фак­торов и тем более оснований считать, что параметры регрессион­ной модели отражают степень эффективности включенных в нее факторов.

Для оценки существенности (значимости) совокупного коэф­фициента корреляции используется критерий F- Фишера.

Для этого определяется F-расчетное по следующей формуле:

По таблице F-распределения следует оты­скать табличное значение F_Tабл при числе степеней свободы к₁ = I— 1, к_г = п — 1и уровне значимости а = 0,05 (Р = 1 — 0,05).

Если F_расч < F_табл, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между результативным и факторными признаками сущест­венна.

Кроме совокупного коэффициента корреляции познаватель­ное значение имеют частные коэффициенты корреляции, позво­ляющие установить степень тесноты связи между результативным признаком у и каждым из факторных признаков при исключении искажающего влияния других факторных признаков. Следова­тельно, коэффициенты частной корреляции отражают степень «чистого» влияния факторного признака на результативный при­знак. Для их расчета могут быть использованы парные коэффи­циенты корреляции.

Для случая зависимости результативного признака у от двух признаков-факторов

(х 1, и х₂) определяются два коэффициента частной корреляции:

• частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и фактором х1, при элиминировании фактора х₂:

• частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и фактором х₂ при элиминировании факторах,:

Для общего случая частные коэффициенты корреляции опре­деляются по формуле

Величина частного коэффициента корреляции лежит в преде­лах от 0 до 1, а знак определяется

знаком соответствующих параметров регрессии.

Рассчитывая величины частных коэффициентов корреляции, следует иметь в виду, что каждый из них по своей абсолютной ве­личине не может быть больше величины коэффициента множест­венной (совокупной) корреляции Ryx1,x2,…,xk

10. Для сравнения роли различных факторов в формировании моделируемого показателя определяется коэффициент эластич­ности (Эj) или β-коэффициент ().

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколь­ко процентов в среднем изменяется результативный признак у с изменением признака-фактора х на 1%, и определяется по формуле

β -коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменится результативный показатель при изменении соответствующего фактора х на величину его средне­го квадратического