Средние скорости молекул идеального газа. 2 глава
Системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии внешних воздействий движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, называются инерциальными системами отсчета(ИСО).
Систему отсчета, связанную с Землей, считают ИСО с точностью до вращения Земли относительно своей оси – это первое приближение. Если пренебречь вращением Земли нельзя, то в качестве следующего, второго, более точного приближения к ИСО выбирают систему отсчета, связанную с центром Солнца (гелиоцентрическую систему отсчета).
Импульс частицы
– это вектор, равный произведению массы частицы на ее скорость
. (2.1)
Второй закон Ньютона:
Скорость изменения импульса частицы в инерциальной системе отсчета равна векторной сумме сил, действующих на частицу,
. (2.2)
Если масса частицы не изменяется во время движения, то
. (2.3)
В случае переменной массы
связь между силой, массой и ускорением описывается уравнением Мещерского (реактивное движение):
. (2.4)
Уравнение (2.4) описывает движение любого тела переменной массы в поле внешних сил
;
– скорость присоединяющейся (отделяющейся) массы относительно тела;
– реактивная сила.
Сила
, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную
и нормальную
(рис. 2.1):
, (2.5)
где
– угловое ускорение,
– радиус кривизны траектории;
, (2.6)
где
– угловая скорость.

Рис. 2.1. Разложение силы
на тангенциальную
и нормальную
составляющие.
,
,
– соответственно полное, нормальное и тангенциальное ускорения.
– радиус кривизны траектории
Третий закон Ньютона: силы
и
взаимодействия двух материальных точек 1 и 2 равны по величине, противоположны по направлению и лежат на прямой, соединяющей эти точки (рис. 2.2):
(2.7)

Рис. 2.2. К третьему закону Ньютона
Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения
Сила гравитационного притяжения
, действующая между материальными точками в соответствии с законом всемирного тяготения, пропорциональна произведению масс взаимодействующих частиц
и
, обратно пропорциональна квадрату расстояния
между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки (рис. 2.3).
, (2.8)
,
где
– единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей частицы,
– гравитационная постоянная,

Рис. 2.3. Силы гравитационного взаимодействия
и
между двумя материальными точками.
– радиус-векторы и массы взаимодействующих частиц
Если одну частицу поместить в начало координат (точка
), то закон примет вид
,
. (2.9)
Гравитационная сила притяжения частицы планетой
,
, (2.10)
где
– масса планеты,
– масса частицы,
– ускорение свободного падения.
Вес – это вертикальная сила, с которой тело действует на опору или подвес. Если тело находится в состоянии равновесия, то она равна по величине силе нормальной реакции опоры
.
Сила упругости
Сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня определяется законом Гука:
. (2.11)
В проекции на ось
.
или
– смещение точки приложения силы
относительно положения равновесия (рис. 2.4). Коэффициент жесткости
определяется формулой
, (2.12)
где
– модуль Юнга или модуль упругости, который характеризует упругие свойства материала стержня,
– длина недеформированного стержня,
– площадь поперечного сечения стержня.

Рис. 2.4. К определению силы упругой деформации
по закону Гука.
– сила, растягивающая стержень вдоль оси
,
– абсолютное удлинение стержня
Закон Гука справедлив только при малых деформациях:
.
Силы трения.
Сила трения покоя направлена противоположно внешней силе, зависит от величины внешней силы
и может иметь величину от нуля до некоторого максимального значения
. Если
, то тело начинает скользить, и на него уже действует сила трения скольжения:
,
. (2.13)
Здесь
– сила нормальной реакции опоры,
– коэффициент трения скольжения.
Сила вязкого трения пропорциональна скорости движения тела и направлена в сторону, противоположную направлению движения,
, (2.14)
где
– коэффициент вязкости среды.
Момент импульса частицы относительно начала координат (точка
):
,
. (2.15)
По определению
и
(рис. 2.5). Направление вектора
определяется по правилу правого винта (рис. 2.6).

Рис. 2.5. Момент импульса
материальной точки массой
относительно начала координат (точка
).
и
- импульс и радиус-вектор материальной точки

Рис. 2.6. К определению направления момента импульса
по правилу правого винта
, (2.16)
где
,
,
– проекции момента импульса частицы на координатные оси.
Для частицы, вращающейся по окружности радиуса
(рис. 2.7),
, (2.17)
, (2.18)
где
– момент инерции материальной точки.
Для частицы, движущейся по прямой (рис. 2.8),
, (2.19)
где
– кратчайшее расстояние от начала координат (точка
) до траектории частицы.
Величина
зависит от выбора точки
. Если имеется ось вращения, точку
помещают на этой оси.

Рис. 2.7. Момент импульса
частицы, движущейся по окружности радиуса
со скоростью
,
– масса частицы

Рис. 2.8. Момент импульса
частицы, движущейся по прямолинейной траектории со скоростью
.
– радиус-вектор частицы.
– кратчайшее расстояние от начала координат (точка
) до траектории частицы.
– масса частицы
Момент силы
относительно начала координат (точка
) равен векторному произведению векторов
и
:
,
, (2.20)
– плечо силы.
.
По определению
и
(рис. 2.9). Направление вектора
определяется по правилу правого винта (рис. 2.10).
. (2.21)
,
,
– проекции момента силы на координатные оси. Величина и направление вектора момента силы
зависят от выбора точки
.

Рис. 2.9. К определению направления момента силы
по правилу правого винта

Рис. 2.10. Момент импульса
относительно начала координат (точка
).
– сила, действующая на частицу массой
.
– кратчайшее расстояние от точки
до линии действия силы
Основное уравнение динамики вращательного движения
Скорость изменения момента импульса частицы
относительно некоторой точки равна моменту силы относительно этой же точки:
, (2.22)
, (2.23)
где
– изменение момента импульса за время
равно импульсу момента силы за это же время.
Момент инерции материальной точки:
, (2.24)
где
– расстояние до оси вращения.
Момент инерции твердого тела, относительно оси, проходящей через центр масс тела, в общем случае:
(2.25)
Здесь
– расстояние от элементарной массы
до оси вращения.
Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси
проходящей через центр масс тела, приведены в таблице 2.1.
Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела
, и произведения массы тела
на квадрат расстояния между осями
:
(2.26)
Таблица 2.1
Моменты инерции однородных тел относительно оси, проходящей через центр масс тела
Твердое тело
| ось вращения
| Момент инерции
|
Тонкий стержень длины
|
Ось перпендикулярна оси стержня
|
|
Сплошной цилиндр радиуса
|
Ось совпадает с осью цилиндра
|
|
Тонкое кольцо радиуса
|
Ось перпендикулярна плоскости кольца
|
|
Тонкий диск радиуса
|
Ось перпендикулярна плоскости диска
|
|
Тонкий диск радиуса
|
Ось совпадает с диаметром диска
|
|
Сплошной шар радиуса
|
Ось проходит через центр шара
|
|
Работа силы равна интегралу от скалярного произведения вектора силы на вектор бесконечно малого перемещения
. (2.27)

Рис. 2.11. К определению работы силы на участке траектории 1 – 2
Сила совершает положительную работу, когда она направлена «по движению» (
), отрицательную, когда она направлена «против движения» (
). Работа силы равна нулю, когда
(
).
Работа момента силы при повороте тела относительно оси
равна изменению кинетической энергии:
. (2.28)
Мощность силы равна работе, совершенной за единицу времени:
. (2.29)
Кинетическая энергия:
а) тела, движущегося поступательно,
, (2.30)
где
– скорость центра масс тела;
б) тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,
; (2.31)
в) тела, совершающего плоское движение,
. (2.32)
Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины
, (2.33)
где
– жесткость пружины,
– абсолютная деформация пружины;
б) гравитационного взаимодействия
, (2.34)
где
– гравитационная постоянная,
и
– массы взаимодействующих тел;
– расстояние между центрами этих тел;
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести Земли,
, (2.35)
где
– ускорение свободного падения,
– высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии
, где
– радиус Земли).
Законы сохранения
Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой системы сохраняется:
.
(2.36)
Система называется замкнутой, если все внешние силы, действующие на систему, уравновешены.
Проекция импульса на ось сохраняется, если сумма проекций внешних сил на эту ось равна нулю:
, если
.
Если действие внешних сил длится очень малое время
(столкновение, взрыв), то
, т.е.
.
Для двух взаимодействующих точек закон сохранения импульса имеет вид
, (2.37)
где
и
– скорости точек до и после их взаимодействия.
Полная механическая энергия системы частиц, находящихся во внешнем потенциальном поле,
, (2.38)
где
– сумма кинетических энергий всех частиц системы:
, (2.39)
– собственная потенциальная энергия системы частиц:
, (2.40)
– потенциальная энергия взаимодействия
-ой и
-ой частиц,
, где
– потенциальная энергия
-ой частицы во внешнем поле.
Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется
.
Закон сохранения момента импульса:
Момент импульса системы сохраняется, если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
,
. (2.41)
Если проекция моментов внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция момента импульса на эту ось сохраняется:
,
. (2.42)
Примеры решения задач
Задача 1. Тело массой
движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением
, где
,
. Запишите закон изменения силы как функцию времени. Определите модуль силы, действующей на тело через
после начала движения.
Воспользуйтесь поиском по сайту: