Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Средние скорости молекул идеального газа. 6 глава

, (1.4)

где – масса молекулы. .

Замечание: для решения задач полагают, что молярная масса воздуха .

Идеальный газ – это модель, которая удовлетворяет следующим требованиям:

– суммарный объем всех молекул газа ;

– молекулы газа сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда как идеально упругие шарики; на расстоянии молекулы газа не взаимодействуют ни друг с другом, ни с другими телами.

При нормальных условиях^*, т.е. при не очень больших давлениях и не очень низких температурах, любой газ с хорошей

*Нормальные условия: ; ; .

степенью точности можно считать идеальным.

Уравнение состояния идеального газа:

. (1.5)

Величина этой константы для 1 моля идеального газа называется универсальной газовой постоянной :

Если газ содержит молей, уравнение состояния идеального газа (или уравнение Менделеева-Клапейрона) имеет вид

или . (1.6)

Постоянная Больцмана .

, (1.7)

где – число молекул газа.

Концентрация молекул газа:

. (1.8)

С учетом выражения (1.8) уравнение состояния (1.7) можно переписать в виде

. (1.9)

Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов смеси:

, (1.10)

где – число компонентов смеси, – парциальное давление каждого газа в отдельности в объеме (, – число молекул -го компонента смеси).

Закон Авогадро. Равные объемы идеальных газов при одинаковых температуре и давлении содержат одинаковое число молекул.

Макросистема (или термодинамическая система) – система, состоящая из очень большого числа частиц (молекул, атомов и др.). Например, газ.

Макропараметры состояния системы – давление, объем, температура, концентрация и т.д.

Микропараметры системы – средние значения скоростей молекул газа, средние значения энергии молекул и т.д.

Равновесное состояние термодинамической системы – это состояние, при котором макропараметры (, , ) имеют постоянные значения для любой части системы. Равновесное состояние можно представить точкой на диаграмме, по координатным осям откладываются значения , , (рис. 1.1).

Процесс – переход макросистемы из одного состояния в другое, например, благодаря внешнему воздействию. Если воздействие осуществляется достаточно медленно, то процесс называют равновесным. Он может быть изображен на диаграмме как последовательность точек, соответствующих промежуточным равновесным состояниям системы.

	Рис. 1.1. Изображение равновесного состояния системы в виде точки с координатами на диаграмме
	Рис. 1.2 Процесс равновесного перехода системы из состояния 1 с макропараметрами в состояние 2 с макропараметрами на диаграмме

Изопроцессы – процессы идеальных газов, происходящие при неизменном значении одного из параметров , или (рис. 1.3).

Теплоемкость – это количество тепла, которое нужно сообщить телу (газу), чтобы повысить его температуру на один Кельвин:

. (1.11)

Величина теплоемкости зависит от способа, которым системе сообщают тепло, т.е. различна для различных процессов. Теплоемкость измеряется в .

Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты необходимому для нагревания одного моля вещества на 1 К.

. (1.12)

Молярная теплоемкость измеряется в .

Рис. 1.3. Изопроцессы в идеальных газах

Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты необходимому для нагревания 1кг вещества на 1 К:

. (1.13)

Удельная теплоемкость измеряется в .

Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением:

(1.14)

Политропический процесс – процесс, протекающий с постоянной теплоемкостью: .

Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении :

, (1.15)

где – число степеней свободы молекул газа.

У молекул одноатомного газа три степени свободы поступательного движения (рис.1.4). Молекула двухатомного газа, кроме трех степеней свободы поступательного движения, имеет еще две степени свободы вращательного движения (рис.1.5). У молекул двухатомного газа пять степеней свободы . Трехатомные и многоатомные молекулы газа имеют шесть степеней свободы : три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения (рис.1.6).


Рис. 1.4. Одноатомная молекула имеет три поступательные степени свободы	Рис. 1.5. Двухатомная молекула имеет три поступательные и две вращательные степени свободы	Рис.1. 6. Трехатомная молекула имеет три поступательные и три вращательные степени свобод.

Уравнение Майера:

(1.16)

Внутренняя энергия идеального газа равна суммарной кинетической энергии хаотического движения всех молекул газа:

(1.17)

или

, (1.18)

где – масса молекулы газа; – средняя скорость молекул газа; – средняя кинетическая энергия молекулы газа, – количество вещества.

Работа, совершаемая идеальным газом при переходе из состояния 1 в состояние 2,

. (1.19)

Первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая изолированной системе, идет на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами (против внешних сил):

(1.20)

Для конечных изменений термодинамических параметров:

. (1.21)

При поглощении системой тепла , при выделении .

При расширении системы , при сжатии .

При нагревании системы , при охлаждении .

Изотермический процесс: или (рис.1.7). Закон Бойля – Мариотта:

Рис.1.7. Изотермический процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 в координатах

. (1.22)

Работа при изотермическом процессе:

. (1.23)

Внутренняя энергия

. (1.24)

Изохорический процесс - или (рис.1.8).

Рис.1.8. Изохорический процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 в координатах

Закон Шарля:

. (1.25)

Работа при изохорическом процессе .

Изменение внутренней энергии при изохорическом процессе

. (1.26)

Изобарический процесс - или

Р ис. 1.9. Изобарический процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 в координатах

Закон Гей-Люссака:

(1.27)

(1.28)

(1.29)

, (1.30)

т.к. из уравнения Менделеева – Клапейрона:

Адиабатический процесс – процесс, происходящий без передачи тепла, . Теплоемкость газа при таком процессе .

. (1.31)

. (1.32)

Подставив (2.1.32) в (2.1.31) получим уравнение адиабатического процесса

, (1.33)

, (1.34)

где – показатель адиабаты. После интегрирования выражения (1.34), получим

или

. (1.35)

Рис.1.10. Адиабатический процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 в координатах . Адиабата (

) идет круче, чем изотерма (

)

Уравнения Пуассона:

(1.36)

Коэффициент полезного действия (к.п.д.) циклического процесса равен отношению произведенной за цикл работы к полученному от нагревателя теплу

, (1.37)

где - количество теплоты, полученное телом (газом) от нагревателя; - количество теплоты, переданное рабочим телом холодильнику.

Цикл Карно – это циклический процесс, при котором прием тепла от нагревателя и передача тепла холодильнику обратимы. Этот цикл состоит из двух адиабат и двух изотерм (рис.1.11)

К.п.д. цикла Карно

. (1.38)

Рис.1.11. Цикл Карно. – количество теплоты, полученное системой от нагревателя. – количество теплоты, отданное системой холодильнику. , – адиабаты, , – изотермы

Энтропия (S) – это функция состояния термодинамической системы, дифференциалом которой является соотношение.

(1.39)

, (1.40)

где подынтегральное выражение и пределы интегрирования необходимо выразить через величины, характеризующие исследуемый процесс.

. (1.41)

Формулы (1.40) и (1.41) определяют энтропию с точностью до аддитивной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а ее изменение, т.е. разность энтропий.

Приращение энтропии идеального газа:

. (1.42)

Первое начало термодинамики для идеального газа с учетом (1.41):

. (1.43)

Рис.1.12

Тепло, полученное системой в результате процесса

, (1.44) равно площади под кривой процесса на диаграмме

(рис. 1.12).

Неравенство Клаузиуса

, (1.45)

т.е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти молярную массу смеси кислорода массой и азота массой .

Решение. Молярная масса смеси равна отношению массы смеси к количеству вещества смеси :

. (1)

Масса смеси , количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов

, (2)

где и , , .

Задача 2. В баллоне объемом находится гелий под давлением при температуре . После того как из баллона было израсходовано гелия, температура в баллоне понизилась до . Определите давление , оставшегося в баллоне гелия. Молярная масса гелия .

Решение. Для начального и конечного состояний гелия уравнение Менделеева – Клапейрона имеет вид

, (1)

, (2)

где и – масса гелия в начальном и конечном состояниях.

Из (1) и (2) выразим и :

, , (3)

. (4)

Отсюда найдем искомое давление.

, (5)

Задача 3. Определить количество теплоты, поглощаемой водородом массой при нагревании его от температуры до температуры при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу.

Решение. Количество теплоты, поглощаемое газом при изобарном нагревании,

, (1)

где – масса нагреваемого газа, – его молярная масса. Для водорода . – теплоемкость при постоянном давлении, – число степеней свободы. Для молекулы водорода . – изменение температуры газа.

Изменение внутренней энергии газа

, (2)

Работа расширения, в соответствии с первым началом термодинамики,

, (3)

Задача 4. Один моль идеального двухатомного газа находится под давлением и занимает объем . Сначала газ изохорно нагревают до температуры , затем, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить к.п.д. цикла.