Средние скорости молекул идеального газа. 3 глава

Решение. По второму закону Ньютона модуль силы равен

,

где – ускорение. Первая производная пути по времени – это скорость тела:

.

Производная скорости по времени – ускорение: .

Закон изменения силы :

Подставив числовые значения: , , и получим: (, ) .

 

Задача 2. Груз массой вращается на канате длиной в горизонтальной плоскости, совершая (рис. 2.12). Какой угол с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения.

Решение. На груз действуют сила тяжести и сила натяжения каната (рис. 2.12). По второму закону Ньютона

. (1)

Рис. 2.12

Так как движение по окружности происходит здесь с постоянной по модулю скоростью, то полное ускорение тела равно нормальному ускорению

Выберем оси и как показано на рис. 2.12. Проектируя векторы, входящие в уравнение (1) на эти оси, получим

, (2)

. (3)

Из рис.2.12 видно, что радиус окружности равен

. (4)

Решив совместно уравнения (2), (3) и (4), получим

, (5)

. (6)

Подставив числовые значения , , в формулы (5) и (6), получим , , .

 

Задача 3.

Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены грузы с массами и . Массы блока и нити пренебрежимо малы, трением можно пренебречь. Найти ускорение центра масс этой системы.

Решение. Силы, действующие на тела, показаны на рис. 2.13. Предположим, что ускорение первого груза направлено вниз, а второго груза – вверх. Второй закон Ньютона в проекции на ось для каждого тела в отдельности

, (1)

. (2)

Рис. 2.13

Т.к. , то из уравнений (1) и (2) сила натяжения нити Т равна Проекцию ускорения центра масс этой системы на ось y определим из уравнения

.

Подставив числовые значения , , получим:

.

Задача 4.

В вагоне укреплен отвес (шарик массой m на нити). Какое направление примет отвес, если вагон скатывается без трения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол (рис.2.14). Отвес считать неподвижным относительно вагона.

Рис. 2.14

Решение. По второму закону Ньютона для шарика: , (1) где – ускорение шарика, равное ускорению вагона. Вагону сообщает ускорение составляющая его силы тяжести, направленная вдоль наклонной плоскости , где – масса вагона.

По второму закону Ньютона для вагона:

, (2)

. (3)

Уравнение (1) в проекциях на ось х, совпадающую с направлением ускорения , примет вид

, (4)

отсюда .

Так как сила натяжения нити , то и .

При спуске вагона отвес расположен по нормали к наклонной плоскости.

 

Задача 5.

Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в два раза меньше времени спуска.

Решение. Силы, действующие на тело при его движении вверх, показаны на рис. 2.15. Второй закон Ньютона в проекции на оси x,y имеет вид

, (1) , (2) , (3) где – коэффициент трения.

Рис. 2.15

Подставив (3) в (1) получим .

Т.е. тело движется вверх равнозамедленно с ускорением :

, (4)

а уравнение его движения имеет вид

, (5)

где – начальная скорость тела. Время движения тела вверх определим из условия:

, , (6)

а координата точки поворота .

При движении тела вниз меняется направление силы трения и, следовательно, вниз тело движется с ускорением

, (7)

а уравнение его движения имеет вид

.

Время движения тела вниз определим из условия

,

. (8)

Отношение по условию. Подставив (4), (6), (7) в (8), имеем

,

 

Подставив численные данные задачи, получим .

 

Задача 6. Однородный шар массы скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом (рис. 2.16). Найти кинетическую энергию шара через после начала движения.

Решение. Кинетическая энергия шара равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс шара и кинетической энергии вращательного движения шара относительно неподвижной оси: ,

где – момент инерции шара, – угловая скорость вращения шара.

Скорость центра масс шара , где – ускорение центра масс шара, которое найдем следующим образом: уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось (см. рис. 2.16):

.

Основное уравнение вращательного движения шара относительно оси проходящей через центр масс шара:

или .

Т.к. в отсутствие проскальзывания , а ускорение .

Рис. 2.16

Получив систему двух уравнений,

,

находим ускорение ,

скорость центра масс шара ,

и угловую скорость вращения шара

.

Кинетическая энергия шара в момент времени будет равна

.

.

 

Задача 7. Круглая платформа радиуса , момент инерции которой , вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой . На краю платформы стоит человек, масса которого . Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет в центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Какую работу совершит при этом человек.

Решение. Так как платформа вращается по инерции, то результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе платформа-человек, равен нулю. Следовательно, выполняется закон сохранения момента импульса:

,

. (1)

Когда человек стоит на краю платформы, момент импульса системы платформа-человек равен

, (2)

где – момент инерции человека; – момент инерции системы, – угловая скорость платформы.

Когда человек стоит в центре платформы, момент импульса системы равен

, (3)

где и – момент инерции и угловая скорость системы. Здесь учтено, что момент инерции человека, стоящего в центре платформы, равен нулю. Решая совместно уравнения (1) – (3) получаем

.

Из закона сохранения энергии определим работу, совершенную человеком, как изменение механической энергии системы:

.

Задача 8. Найти момент инерции тонкого кольца массы и радиуса относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр (рис. 2.17).

Решение. Разобьем кольцо на элементы массой ,

где – линейная плотность; – длина дуги. – расстояние от элемента до оси вращения.

 

Рис. 2.17

, – момент инерции тонкого кольца.

 

Задача 9. Найти момент инерции тонкого диска массы и радиуса относительно оси, лежащей в плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Решение. Разобьем диск на тонкие кольца радиусом , толщиной и массой

,

где – площадь диска; – площадь кольца.

Тогда момент инерции такого кольца, учитывая результат полученный в задаче 8, равен

.

Интегрируя по от до радиуса диска , получим момент инерции диска:

.

3.Механические колебания

 

Колебания – движения, повторяющиеся во времени.

Периодические колебания – движения, повторяющиеся через равные промежутки времени: , где – смещение колеблющейся частицы от положения равновесия, Т – период колебаний, – частота колебаний.

Гармонические колебания – это колебания, происходящие по синусоидальному или косинусоидальному закону:

, (3.1)

где А – амплитуда колебаний: максимальное смещение частицы из положения равновесия, – фаза колебаний, – начальная фаза (при t =0), – циклическая частота колебаний

. (3.2)

Амплитуда А и частота гармонических колебаний постоянны.

Гармонический осциллятор – система, совершающая гармонические колебания.

Условие возникновения гармонических колебаний: на частицу (или систему частиц) должна действовать сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы из положения равновесия и стремящиеся вернуть ее в положение равновесия.

Такая сила называется квазиупругой и имеет вид

, (3.3)

где – постоянный коэффициент, называемый квазижесткостью.

Пример гармонического осциллятора – шарик на упругой пружинке. Упругая сила, вызывающая колебания пружинного маятника (рис.3.1), имеет вид:

, (3.4)

где – коэффициент жесткости пружины, х – смещение шарика из положения равновесия.

Рис.3.1. Горизонтальные колебания грузика на невесомой пружине жесткости k. m – масса грузика

Второй закон Ньютона для шарика, совершающего колебания под действием силы упругости имеет вид

, . (3.5)

Обозначив , где – собственная частота гармонических колебаний, получим динамическое уравнение гармонических колебаний

. (3.6)

Решением уравнения (3.6) является функция

. (3.7)

Динамические уравнения движения для систем, совершающих гармонические колебания, затухающие и вынужденные колебания, решения этих уравнений, а так же основные характеристики этих видов колебаний представлены в таблицах 2.2, 2.3 и 2.4.

Физический маятник – это любое физическое тело, совершающее колебания под действием квазиупругого момента силы тяжести относительно горизонтальной оси Z, не проходящей через центр масс тела (рис.3.2).

 

Рис. 3.2. Физический маятник. С – центр масс тела. Маятник совершает колебания относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. – угол отклонения от положения равновесия. l – расстояние от точки подвеса до центра масс тела

Квазиупругий момент силы тяжести в проекции на ось Z, возвращающий тело (маятник) в положение равновесия, пропорционален углу отклонения (при малых колебаниях можно считать, что )

. (3.8)

Основное уравнение вращательного движения для такого маятника имеет вид

. (3.9)

В проекции на ось вращения Z

, (3.10)

,

. (3.11)

Обозначив , где – собственная частота колебаний физического маятника, получим

. (3.12)

Решением уравнения (3.12) является функция

. (3.13)

Период колебаний физического маятника

. (3.14)

Математический маятник – это материальная точка массы , подвешенная на нерастяжимой нити длинной , совершающая колебания в вертикальной плоскости (рис.3.3).

Рис.3.3 Математический маятник. l – длина нити маятника

Момент инерции материальной точки . Период малых колебаний математического маятника:

. (3.15)

Циклическая частота колебаний . (3.16)

 

Таблица 2.2. Гармонические колебания

Силы, действующие на частицу	Консервативная квазиупругая сила , где – смещение от положения равновесия
Второй закон Ньютона	,
Динамическое уравнение	, где – собственная частота гармонических колебаний осциллятора
Решение динамического уравнения	, где – амплитуда колебаний, – фаза колебаний
Характеристики колебаний
Энергия колебаний	– при вращательном движении

Таблица 2.3. Затухающие колебания

Силы, действующие на частицу	– квазиупругая сила, – сила сопротивления, где – коэффициент сопротивления
Второй закон Ньютона	,
Динамическое уравнение	, где – собственная частота колебаний осциллятора; – коэффициент затухания
Решение динамического уравнения	, где – амплитуда затухающих колебаний, – начальная фаза; – фаза, – частота затухающих колебаний
Характеристики колебаний	– логарифмический декремент затухания,	– частота затухающих колебаний, – период затухающих колебаний, – время релаксации, – добротность осциллятора
Энергия колебаний		– изменение энергии равно работе сил сопротивления

Таблица 2.4. Вынужденные колебания

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: