Средние скорости молекул идеального газа. 7 глава
На участке
газ изобарически сжимается и отдает количество теплоты
равное
, (6)
где
- молярная теплоемкость газа при изобарическом процессе.
Подставив значения
и
в формулу для к.п.д. цикла:
,
получим
(7)
Отношение объемов
в выражении (7) заменим, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур
.
После подстановки значений
,
и сокращения на
и
получим
,
,
%.
Задача 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой
при температуре
. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру
в конце адиабатного расширения и работу
, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением
, (1)
где
– показатель адиабаты (для водорода, как двухатомного газа,
).
Из (1) получаем выражение для конечной температуры
:
. (2)
Подставляя числовые значения заданных величин, находим
.
Работа
газа при адиабатном расширении определяется по формуле
. (3)
Подставив в (3) числовые значения величин, получим
.
Рис.1.14
| Работа газа при изотермическом сжатии выражается формулой
. (4)
|
Произведя вычисления по формуле (4), найдем
.
Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами. Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах,
.
График процесса приведен на рис.1.14.
Задача 6. Нагреватель тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, имеет температуру
. Определить температуру
охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты
, совершается работа
?
Потери на теплоотдачу не учитывать.
Решение. Температуру охладителя
найдем, использовав выражение для термического к.п.д. машины, работающей по циклу
Карно,
:
. (1)
Термический к.п.д. тепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу
, к количеству теплоты
, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е.
. Подставив это выражение в формулу (1), найдем
. (2)
Учтя, что
, после вычисления по формуле (2) получим
.
Задача 7. Найти изменение
энтропии при нагревании
воды массой
от температуры
до температуры
и последующем превращении воды в пар той же температуры.
Решение. Найдем отдельно изменение энтропии
при нагревании воды и изменение энтропии
при превращении ее в
пар. Полное изменение энтропии выразится суммой
и
.
Изменение энтропии
. (1)
При бесконечно малом изменении
температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты
, где
– масса тела;
– его удельная теплоемкость. Подставив выражение
в равенство (1), найдем формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:
. (2)
Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование,
. (3)
После вычислений найдем
.
При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура
выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем
, (4)
где
– количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (4) выражение количества теплоты
, где
– удельная теплота парообразования, получим
. (5)
Произведя вычисления по формуле (5), найдем
.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар
.
Задача 8. Определить изменение
энтропии при изотермическом расширении кислорода массой
от объема
до объема
.
Решение. Так как процесс изотермический, то в выражении для энтропии
температуру можно вынести за
знак интеграла:
. (1)
Количество теплоты
, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики:
. Для изотермического процесса
, следовательно
, (2)
а работа
изотермического процесса определяется формулой
. (3)
С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид
. (4)
Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим 
2 Молекулярно-кинетическая теория газов.
Основное уравнение кинетической теории газов
(2.1)
где
– давление газа;
– средняя кинетическая энергия поступательно движения молекулы газа,
– концентрация.
Средняя кинетическая энергия:
– приходящаяся на одну степень свободы молекулы
, (2.2)
– приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)
, (2.3)
– поступательного движения молекулы
, (2.4)
где
– постоянная Больцмана;
– термодинамическая температура;
– число степеней свободы молекулы;
– вращательного движения молекулы
(2.5)
– колебательного движения молекулы
(2.6)
Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
.
Функция распределения по величине х:
. (2.7)
Вероятность того, что значение х находится в пределах
.
(2.7)
Условие нормировки:
, (2.8)
где интеграл берется по всем возможным значениям х.
Распределение Гаусса – все случайные величины, соответствующие независимым событиям в природе, подчиняются распределению Гаусса (рис. 2.1):
, (2.9)
где
– положительная константа,
– среднее значение параметра х.
| Рис.2.1. Функция распределения Гаусса, для случайных величин, соответствующих независимым событиям
|
Распределение Максвелла.
Распределение Максвелла получено при следующих предположениях:
1. Внешние силовые поля на молекулы газа не действуют.
2.
все направления равновероятны.
3. Независимые проекции скорости
подчиняются распределению Гаусса
(2.10)
где
.
Вероятность того, что конкретная молекула имеет проекции скорости в пределах:
,
,
, равна произведению вероятностей независимых событий
. (2.11)
Число молекул со скоростями от
до 
, (2.12)
где N – общее число молекул.
Функция распределения Максвелла молекул газа по скоростям (в равновесном состоянии) имеет следующий вид
, (2.13)
где
- постоянная Больцмана;
– масса одной молекулы, число Авогадро
; универсальная газовая постоянная
.
Относительная доля молекул, обладающих скоростями в диапазоне от
до
:
. (2.14)
Средняя скорость молекул газа.
|
Рис.2.2 Средние скорости молекул газа: – наиболее вероятная; – средняя арифметическая; – средняя квадратичная скорость.
|
Температура идеального газа является мерой кинетической энергии его молекул. В этом заключается смысл термодинамического параметра – температуры в молекулярно – кинетической теории.
Средние скорости молекул идеального газа.
Таблица 2.1
-наиболее вероятная
| соответствует максимуму функции распределения
|
|
- средняя арифметическая
|
|
|
- средняя квадратичная скорость
| соответствует молекулам со средней кинетической энергией
|
|
Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)
(2.15)
где
– концентрация частиц;
– их потенциальная энергия;
– концентрация частиц в точках поля, где
;
– постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура;
– основание натуральных логарифмов.
Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)
или
, (2.16)
где
– давление газа,
– масса частицы,
– молярная масса,
– координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой,
– давление на этом уровне,
– ускорение свободного падения,
– молярная газовая постоянная.
Среднее значение физической величины
в общем случае
, (2.17)
а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу
, (2.18)
где
– функция распределения, а интегрирование ведется по всем значениям величины
.
Например, среднее значение скорости молекулы (т.е. средняя арифметическая скорость)
; средняя квадратичная скорость
, где
; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
.
Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,
, (2.19)
где
– эффективный диаметр молекулы;
– концентрация молекул,
– средняя арифметическая скорость молекул.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
. (2.20)
Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,
, (2.21)
где
– динамическая вязкость газа;
– градиент (поперечный) скорости течения его слоев;
– площадь элемента поверхности,
– время переноса.
Динамическая вязкость
, (2.22)
где
– плотность газа (жидкости);
– средняя скорость хаотического движения его молекул;
– средняя длина свободного пробега молекул газа.
Задача 1. В колбе вместимостью
находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию
поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.
Решение. Средняя энергия
поступательного движения всех молекул может быть выражена соотношением
, (1)
где
– средняя энергия поступательного движения одной молекулы;
– число всех молекул, содержащихся в колбе.
Средняя энергия поступательного движения одной молекулы
, (2)
где
– постоянная Больцмана;
– термодинамическая температура.
Число молекул, содержащихся в колбе
, (3)
где
– количество вещества кислорода;
– постоянная Авогадро.
Количество вещества
найдем из таких соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем
равен
. Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кислорода в колбе выражается соотношением
. (4)
Подставив (4) в (3), получим
. (5)
С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движения молекул примет вид
. (6)
Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, получим
.
Задача 2. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака
при температуре
и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.
Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле
, (1)
Число степеней свободы
четырехатомной молекулы, какой является молекула аммиака, равно 6.
Подставим значения величин в (1):
.
Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется по формуле
, (2)
где число 3 означает число степеней свободы поступательного движения.
Подставив в (2) значения величин, получим
.
Заметим, что энергию вращательного движения молекул аммиака можно было получить иначе, разделив полную энергию
на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и вращательное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступательного и вращательного движений одинаковы.
Задача 3. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре
, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не больше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений
: 1) 400 К, 2) 900 К.
Решение. Распределение молекул по скоростям выражается уравнением
, (1)
которое справедливо при условии
. Поскольку в задаче идёт речь о наиболее вероятной скорости, надо считать
. Следовательно,
и уравнение (1) примет вид:
.
Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых
лежат в интервале
:
. (2)
Прежде чем производить расчеты по (2), необходимо убедиться в том, что выполняется условие
. Так как
, то
. (3)
Чтобы вычислить
по (3), найдем сначала наиболее вероятную скорость
по формуле
при
и
соответственно:
Воспользуйтесь поиском по сайту: