Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Средние скорости молекул идеального газа. 7 глава

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

На участке газ изобарически сжимается и отдает количество теплоты равное

, (6)

где - молярная теплоемкость газа при изобарическом процессе.

Подставив значения и в формулу для к.п.д. цикла:

получим

(7)

Отношение объемов в выражении (7) заменим, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур

После подстановки значений , и сокращения на и получим

Задача 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой при температуре . Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу , совершенную газом. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

, (1)

где – показатель адиабаты (для водорода, как двухатомного газа, ).

Из (1) получаем выражение для конечной температуры :

. (2)

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

Работа газа при адиабатном расширении определяется по формуле

. (3)

Подставив в (3) числовые значения величин, получим

Рис.1.14

Работа

газа при изотермическом сжатии выражается формулой

. (4)

Произведя вычисления по формуле (4), найдем .

Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами. Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах,

График процесса приведен на рис.1.14.

Задача 6. Нагреватель тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, имеет температуру . Определить температуру охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты , совершается работа ?

Потери на теплоотдачу не учитывать.

Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выражение для термического к.п.д. машины, работающей по циклу
Карно, :

. (1)

Термический к.п.д. тепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу , к количеству теплоты , которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е. . Подставив это выражение в формулу (1), найдем

. (2)

Учтя, что , после вычисления по формуле (2) получим .

Задача 7. Найти изменение энтропии при нагревании
воды массой от температуры до температуры и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии при нагревании воды и изменение энтропии при превращении ее в
пар. Полное изменение энтропии выразится суммой и .

Изменение энтропии

. (1)

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты , где – масса тела; – его удельная теплоемкость. Подставив выражение в равенство (1), найдем формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

. (2)

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование,

. (3)

После вычислений найдем .

При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

, (4)

где – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (4) выражение количества теплоты , где – удельная теплота парообразования, получим

. (5)
Произведя вычисления по формуле (5), найдем .

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

Задача 8. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении кислорода массой от объема до объема .

Решение. Так как процесс изотермический, то в выражении для энтропии температуру можно вынести за
знак интеграла:

. (1)

Количество теплоты , полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: . Для изотермического процесса , следовательно

, (2)

а работа изотермического процесса определяется формулой

. (3)

С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид

. (4)

Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим

2 Молекулярно-кинетическая теория газов.

Основное уравнение кинетической теории газов

(2.1)

где – давление газа; – средняя кинетическая энергия поступательно движения молекулы газа, – концентрация.

Средняя кинетическая энергия:

– приходящаяся на одну степень свободы молекулы

, (2.2)

– приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)

, (2.3)

– поступательного движения молекулы

, (2.4)

где – постоянная Больцмана; – термодинамическая температура; – число степеней свободы молекулы;

– вращательного движения молекулы

(2.5)

– колебательного движения молекулы

(2.6)

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры .

Функция распределения по величине х:

. (2.7)

Вероятность того, что значение х находится в пределах .

(2.7)

Условие нормировки:

, (2.8)

где интеграл берется по всем возможным значениям х.

Распределение Гаусса – все случайные величины, соответствующие независимым событиям в природе, подчиняются распределению Гаусса (рис. 2.1):

, (2.9)

где – положительная константа, – среднее значение параметра х.

Рис.2.1. Функция распределения Гаусса, для случайных величин, соответствующих независимым событиям

Распределение Максвелла.

Распределение Максвелла получено при следующих предположениях:

1. Внешние силовые поля на молекулы газа не действуют.

2. все направления равновероятны.

3. Независимые проекции скорости подчиняются распределению Гаусса

(2.10)

где .

Вероятность того, что конкретная молекула имеет проекции скорости в пределах:

, , , равна произведению вероятностей независимых событий

. (2.11)

Число молекул со скоростями от до

, (2.12)

где N – общее число молекул.

Функция распределения Максвелла молекул газа по скоростям (в равновесном состоянии) имеет следующий вид

, (2.13)

где - постоянная Больцмана; – масса одной молекулы, число Авогадро ; универсальная газовая постоянная .

Относительная доля молекул, обладающих скоростями в диапазоне от до :

. (2.14)

Средняя скорость молекул газа.

Рис.2.2 Средние скорости молекул газа: – наиболее вероятная; – средняя арифметическая;

– средняя квадратичная скорость.

Температура идеального газа является мерой кинетической энергии его молекул. В этом заключается смысл термодинамического параметра – температуры в молекулярно – кинетической теории.

Средние скорости молекул идеального газа.

Таблица 2.1

-наиболее вероятная	соответствует максимуму функции распределения
- средняя арифметическая
- средняя квадратичная скорость	соответствует молекулам со средней кинетической энергией

Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

(2.15)

где – концентрация частиц; – их потенциальная энергия; – концентрация частиц в точках поля, где ; – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура; – основание натуральных логарифмов.

Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

или , (2.16)

где – давление газа, – масса частицы, – молярная масса, – координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой, – давление на этом уровне, – ускорение свободного падения, – молярная газовая постоянная.

Среднее значение физической величины в общем случае

, (2.17)

а в том случае, если функция распределения нормирована на единицу

, (2.18)

где – функция распределения, а интегрирование ведется по всем значениям величины .

Например, среднее значение скорости молекулы (т.е. средняя арифметическая скорость) ; средняя квадратичная скорость , где ; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .

Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

, (2.19)

где – эффективный диаметр молекулы; – концентрация молекул, – средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

. (2.20)

Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

, (2.21)

где – динамическая вязкость газа; – градиент (поперечный) скорости течения его слоев; – площадь элемента поверхности, – время переноса.

Динамическая вязкость

, (2.22)

где – плотность газа (жидкости); – средняя скорость хаотического движения его молекул; – средняя длина свободного пробега молекул газа.

Задача 1. В колбе вместимостью находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.

Решение. Средняя энергия поступательного движения всех молекул может быть выражена соотношением

, (1)

где – средняя энергия поступательного движения одной молекулы; – число всех молекул, содержащихся в колбе.

Средняя энергия поступательного движения одной молекулы

, (2)
где – постоянная Больцмана; – термодинамическая температура.

Число молекул, содержащихся в колбе

, (3)

где – количество вещества кислорода; – постоянная Авогадро.

Количество вещества найдем из таких соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем равен . Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кислорода в колбе выражается соотношением

. (4)

Подставив (4) в (3), получим

. (5)

С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движения молекул примет вид

. (6)

Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, получим

Задача 2. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака при температуре и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

, (1)

Число степеней свободы четырехатомной молекулы, какой является молекула аммиака, равно 6.

Подставим значения величин в (1):

Средняя энергия вращательного движения молекулы определяется по формуле

, (2)

где число 3 означает число степеней свободы поступательного движения.

Подставив в (2) значения величин, получим

Заметим, что энергию вращательного движения молекул аммиака можно было получить иначе, разделив полную энергию на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и вращательное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступательного и вращательного движений одинаковы.

Задача 3. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре , обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не больше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений : 1) 400 К, 2) 900 К.

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается уравнением

, (1)

которое справедливо при условии . Поскольку в задаче идёт речь о наиболее вероятной скорости, надо считать . Следовательно, и уравнение (1) примет вид: