Средние скорости молекул идеального газа. 4 глава
Силы, действующие на частицу
| – квазиупругая сила,
– сила сопротивления,
– внешняя сила, где – амплитудное значение этой силы, – частота вынуждающей силы
|
Второй закон Ньютона
|
|
Динамическое уравнение
| ,
где – собственная частота колебаний осциллятора; – коэффициент затухания
|
Решение динамического уравнения
| ,
где – амплитуда вынужденных колебаний, – фаза колебаний, – отставание по фазе от частоты вынуждающей силы
|
Характеристики колебаний
|
|
|
Энергия колебаний
|
|
| при
|
| | | |
Примеры решения задач
Задача 1. Физический маятник представляет собой стержень длиной
и массой
с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром
и массой
. Горизонтальная ось маятника проходит через середину стержня (точка
) перпендикулярно ему (рис. 3.4). Определить период колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника (3.14)
,
где
– момент инерции маятника относительно оси вращения,
– масса маятника,
– расстояние от центра масс (точка
) маятника до оси вращения.
Момент инерции маятника
равен сумме моментов инерции стержня
и кольца
:
, (1)
где
,
– в соответствии с теоремой Штейнера.
– момент инерции кольца относительно оси, проходящей через центр масс кольца,
. Подставив выражения для
и
в (1), получим
.
Расстояние от оси маятника до его центра масс равно
.
Подставив полученные значения
,
,
,
, получим период колебаний маятника
.
Задача 2. Гиря массы
подвешена к пружине, жесткость которой
, и совершает затухающие колебания. Определить период этих колебаний, если за время двух колебаний амплитуда уменьшилась в 10 раз.
Решение. Период затухающих колебаний (см. таблицу 2.3)
, (1)
где
– собственная частота колебаний,
– коэффициент затухания, который связан с логарифмическим декрементом затухания соотношением
, (2)
. (3)
Здесь
по условию задачи, а
, т.е.
, а
. (4)
Подставим (4) в (1) и решим уравнение относительно периода
.
,
,
.
Задачи к контрольной работе №1
100. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Изменение угла поворота со временем определяется формулой
, где
,
,
. Найти модуль полного ускорения точки, находящейся на расстоянии
от оси вращения, для момента времени
.
101. Колесо начало вращаться (
) с постоянным угловым ускорением
. Через
после начала движения полное ускорение колеса стало равно
. Найти радиус колеса.
102. Две материальные точки движутся по прямой линии согласно уравнениям
и
, где
,
,
,
,
,
. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковыми? Найти скорость точек в этот момент.
103. Диск радиуса
вращается согласно уравнению
, где
;
;
. Определить тангенциальное
, нормальное
и полное
ускорения точки на окружности диска для момента времени
.
104. Точка движется по дуге окружности радиуса
. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки
, вектор полного ускорения
образует в этот момент с вектором нормального ускорения
угол
. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.
105. Две материальные точки в момент
начинают двигаться вдоль оси
согласно
,
, где
,
,
,
,
,
. Найти скорости и ускорения этих точек в момент их встречи.
106. Материальная точка движется вдоль прямой линии согласно уравнению
, где
,
. Найти путь, пройденный телом от момента времени
до момента времени
.
107. Тело движется по окружности радиусом
. Зависимость пути от времени дается уравнением
, где
. Найти нормальное
и тангенциальное
ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки
.
108. Точка движется по окружности радиусом
. Закон ее движения выражается уравнением
, где
,
. Найти момент времени
, в который нормальное ускорение точки
, Найти скорость
, тангенциальное
и полное
ускорения точки в этот момент времени.
- координата, отсчитываемая вдоль окружность.
109. Материальная точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением
, где
,
и
. Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное, нормальное и полное ускорения через
после начала движения, если известно, что нормальное ускорение точки при
равно
.
110. Частица начала движение из начала координат. Скорость ее зависит от времени по закону
. Найти координаты частицы через
после начала движения, если
,
?
111. Частица начала движение из точки с координатами
;
;
с нулевой начальной скоростью. Ее скорость зависит от времени по закону
. Найти координаты частицы через
после начала движения.
,
,
.
112. Частица начала движение (с нулевой начальной скоростью) из начала координат. Ее ускорение зависит от времени по закону
. Найти модуль скорости частицы в момент времени
, если
;
;
;
;
.
113. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоростью
и с ускорением, которое зависит от времени по закону
. Каков модуль скорости частицы в момент времени
, если
;
?
114. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом
, задается уравнением
. Определите: а) тангенциальное ускорение точки; б) полное ускорение точки в момент времени
.
.
115. Материальная точка движется из начала координат вдоль оси
с нулевой начальной скоростью. Ее ускорение линейно растет и за первые
достигает значения
. Определите в конце десятой секунды: а) скорость точки; б) пройденный точкой путь.
116. Частица начала двигаться из начала координат с начальной скоростью
и с ускорением, которое зависит от времени по закону
. Каков модуль скорости частицы в момент времени
, если
;
;
.
117. Частица начала двигаться из точки с радиус-вектором
со скоростью, которая зависит от времени по закону
. На каком расстоянии от начала координат будет находится частица в момент времени
, если
;
;
?
118. Частица начала двигаться из точки с радиус-вектором
со скоростью, которая зависит от времени по закону
. На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени
, если
;
;
;
?
119. Частица начала двигаться из начала координат с нулевой начальной скоростью. Ее ускорение зависит от времени по закону
. Каков модуль скорости частицы в момент времени
, если
;
;
?
120. Тело массой
движется прямолинейно по закону
.
;
;
;
. Определите силу, действующую на тело через две секунды после начала движения.
121. Тело массой
движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением
, где
,
. Запишите закон изменения силы как функцию времени. Определите модуль силы, действующей на тело, через
после начала движения.
122. Груз массой
вращается на канате длиной
в горизонтальной плоскости, совершая
Какой угол с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения?
123. Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами
и
. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трение можно не учитывать. Найти ускорение центра масс этой системы.
124. Наклонная плоскость, образующая угол
с плоскостью горизонта, имеет длину
. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время
. Определить коэффициент трения
тела о плоскость.
125. В вагоне укреплен отвес (шарик массой
на нити). Вагон скатывается без трения с наклонной плоскости, образующей угол
с горизонтом. Считая отвес неподвижным относительно вагона, определите на какой угол
отклонится отвес от нормали к наклонной плоскости.
126. Цилиндр массы
и радиуса
может вращаться вокруг своей закрепленной горизонтальной оси симметрии О, причем на него действует при этом постоянный момент сил трения
(см. рис.1). С какой силой
надо тянуть намотанную на цилиндр нить, чтобы за время
угловая скорость цилиндра увеличилась на
?
127. На однородный диск, способный вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О, намотана нить, к концу которой прикреплена гиря, опускающаяся с ускорением
, где
- ускорение свободного падения (рис.2). Во сколько раз масса диска
больше массы гири
?

Рис.1 Рис.2
128. Тонкий стержень массой
и длиной
начинает вращаться с угловой скоростью
вокруг оси перпендикулярной оси стержня и проходящей через центр масс. Чему равен постоянный момент сил трения, действующий на стержень при вращении, если он останавливается, повернувшись на угол
?
129. Небольшой брусок начинает под действием силы тяжести скользить без начальной скорости и без трения с ледяной горки высотой
, поверхность которой составляет
к горизонту (рис.3). За какое время предмет соскользнет с горки?
130. Однородный цилиндр начинает скатываться с начальной скоростью
по наклонной плоскости с углом
без проскальзывания (рис.4). Какой путь должен проделать цилиндр, чтобы его скорость возросла в 5 раз?

Рис.3 Рис.4
131. Предмет массы
стоит на горизонтальном диске массы
и радиуса
на расстоянии
от центра диска. Диск вместе с предметом вращается без трения вокруг закрепленной оси, проходящей через центр диска (рис.5). В процессе вращения предмет соскальзывает к краю диска. Угловая скорость вращения диска с предметом, находящимся на краю диска вдвое меньше первоначальной. Чему равна масса
предмета?
132. Два тонких горизонтальных диска вращались свободно без трения в разные стороны вокруг общей вертикальной закрепленной оси, проходящей через центры дисков. (рис.6). Масса нижнего диска в 4 раза больше, чем масса верхнего, а радиус нижнего в 2 раза больше радиуса верхнего диска. Верхний диск упал вниз и оба диска, слипшись, стали вращаться вместе в направлении, в котором вращался верхний диск, с угловой скоростью
. Нижний диск до падения вращался с угловой скоростью
. Чему была равна угловая скорость верхнего диска
до падения?
Воспользуйтесь поиском по сайту: