 |
6. Приложения. 6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. б)непосредственным разложением по столбцу;. Решение. а)вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: =.
|
|
|
|
6. Приложения.
6. 1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
1 – 10. Вычислить определитель: 
а) непосредственным разложением по 
строке;
б)непосредственным разложением по столбцу;
Решение. а)вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: =.
Тогда 
= 
= 
б)вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: =.
Тогда = 
= 
.
Ответ: .
11-20. Найти матрицу 
, если:
, .
Решение:
1)Транспонируем матрицу: .
2) Вычисляем произведение матриц 
:
.
3) Находим матрицу 
:
.
4) Находим матрицу 
: 
.
Ответ: .
21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы.
Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы 
: 
, а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу 
, совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: 
, определяемым методом Гаусса.
Решение:
1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :
.
Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):
, 
.
Таким образом, собственными числами матрицы являются: 
и .
2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам 
и 
.
|
|
|
2. 1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов 
, отвечающих собственному числу : 
или
,
записываем его в виде системы линейных уравнений: 
и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе 
, имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной 
: 
. Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные 
и 
. Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: 
, 
, где 
, 
, одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: 
. Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу будет иметь вид: 
.
2. 2) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов 
, отвечающих собственному числу : 
или
,
записываем его в виде системы линейных уравнений: 
и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе 
, имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : 
. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: 
, где 
и выражаем через неё значения базисных неизвестных и из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: 
. Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов 
, отвечающих собственному числу , будет иметь вид: 
, .
|
|
|
Ответ: , , , ;
, , .
31 – 40. Дана система уравнений: 
. Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
|
|
|
