 |
1) ; 2) где - число;. Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый условиями: 1) ;
|
|
|
|
1); 2) где - число;
3) 
; 4) 
5) 
; 6) 
, 
, 
, 
, 
, 
. Для векторов 
и 
, заданных своими координатами 
, 
скалярное произведение вычисляется по формуле: 
.
Скалярное произведение применяют: 1) для вычисления угла между векторами и по формуле: 
; 2) для вычисления проекции вектора на вектор по формуле: 
; 3) для вычисления длины вектора 
по формуле: 
; 4) в качестве условия перпендикулярности векторов 
и 
: 
.
Векторным произведением векторов 
и 
называется вектор 
, определяемый условиями: 1) 
;
2) 
и 
; 3) 
- правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой тройкой, если из конца третьего вектора 
, кратчайший поворот от первого вектора ко второму , виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.
Векторное произведение обладает свойствами:
1); 2), где - число;
3); 4) 5);
6) 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Для векторов и , заданных своими координатами , векторное произведение вычисляется по формуле: 
.
Векторное произведение 
применяют: 1) для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и , как на сторонах, по формуле: 
; 2) в качестве условия параллельности векторов и : 
.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов , и 
называется число 
.
Смешанное произведение обладает свойствами:
1); 2);
3); 4) и -компланарны;
5) 
, где 
-объём параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Для векторов , и , заданных своими координатами , , 
смешанное произведение вычисляется по формуле: 
.
|
|
|
Смешанное произведение 
применяют: 1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах , и 
, как на рёбрах, по формуле: 
; 2) в качестве условия компланарности векторов , и : 
и - компланарны.
Тема 8. Прямые линии и плоскости.
Нормальным вектором прямой 
, называется всякий ненулевой вектор 
перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор 
параллельный данной прямой.
Прямая 
на плоскости в системе координат 
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение прямой, где 
- нормальный вектор прямой;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно данному вектору 
;
3) 
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору 
( каноническое уравнение );
4) 
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
, 
;
5) 
- уравнения прямой с угловым коэффициентом 
, где - точка через которую прямая проходит; 
( 
) – угол, который прямая составляет с осью 
; 
- длина отрезка (со знаком 
), отсекаемого прямой на оси 
(знак « 
», если отрезок отсекается на положительной части оси и « 
», если на отрицательной).
6) 
- уравнение прямой в отрезках, где 
и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до прямой , заданной общим уравнением 
на плоскости, находится по формуле:
.
Угол 
, ( 
) между прямыми 
и 
, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
; 
.
, если 
или 
.
, если 
или 
Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: 
или 
.
|
|
|
Нормальным вектором плоскости 
, называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости.
Плоскость в системе координат 
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение плоскости, где 
- нормальный вектор плоскости;
2) 
- уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно данному вектору 
;
3) 
- уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
и 
;
4) 
- уравнение плоскости в отрезках, где , и 
- дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и 
(знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до плоскости , заданной общим уравнением 
, находится по формуле:
.
Угол 
, ( ) между плоскостями 
и 
, заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если 
, если 
.
Тема 9. Кривые второго порядка.
Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая 
, общее уравнение которой имеет вид:
,
где числа 
- не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если 
, то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при 
), эллипс (при 
), пустое множество, точку); 2) если 
, то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если 
, то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых). Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.
Общее уравнение 
, где 
, определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:
1а) 
- уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
(рис. 5).
1б) 
- уравнение эллипса с центром в точке 
и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа 
и 
- называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами 
, 
параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.
Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр 
эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , 
параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис. 6).
|
|
|
Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны 
(рис. 5).
|
|
|
