 |
в)уравнение медианы , проведённой из вершины ;
|
|
|
|
в)уравнение медианы, проведённой из вершины;
г)уравнение высоты, проведённой из вершины;
д) длину 
высоты 
; е) площадь 
треугольника 
. Сделать чертёж.
Решение. Сделаем чертёж:
а) Длинустороны 
находим как длину вектора 
:
,
.
б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
, и записываем его в виде общего уравнения прямой:
.
в) Уравнение медианы 
находим как уравнение прямой, проходящей через точки и 
, и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки 
находим как координаты точки, делящей сторону 
пополам:
; 
.
Тогда: 
.
г) Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
, который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда 
д) Длину 
высоты находим как расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением 
:
.
е) Площадь треугольника находим по формуле: 
. Откуда 
.
Ответ: а); б); в);
г); д); е).
81 – 90. Даны вершины пирамиды 
. Требуется найти:
а)длины ребер и; б)угол между ребрами и;
в)площадь грани; г)объем пирамиды;
д)уравнение плоскости грани;
е)длину высоты пирамиды.
Решение.
а) Длинырёбер 
и 
находим как длины векторов 
и 
:
;
;
;
.
б) Угол 
между рёбрами и находим как угол между векторами и по формуле: 
. Учитывая, что: 
, 
, 
получим 
. Откуда 
в) Площадь 
грани 
находим, используя геометрический смысл векторного произведения векторов, по формуле 
. Учитывая, что: 
, 
, получим 
.
г) Объём 
пирамиды находим, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, по формуле 
. Учитывая, что:
|
|
|
,
,
получим 
.
д) Уравнение плоскости грани находим как уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
, и записываем его в виде общего уравнения плоскости:
е) Длину высоты пирамиды находим как расстояние от точки 
до плоскости , заданной общим уравнением :
.
Ответ: а), ; б); в);
г); д); е).
91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:
а) 
; б) 
;
в) 
.
Решение:
а) Так как 
, 
, то уравнение определяет гиперболу с центром в точке 
и осями симметрии, параллельными координатным осям: 
. Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке 
и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат 
: 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами 
и 
параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).
Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис. 1)..
Рис. 1
б) Так как , 
, 
, то уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: 
. Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части
|
|
|
уравнения 
, преобразуем его следующим образом: 
.
Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке 
и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами 
и 
параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис. 2).
Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис. 2).
в) Так как , 
, 
, то уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси 
: 
. Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке 
и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы 
, в положительную сторону оси (рис. 3).
Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис. 3).
Рис. 2. Рис. 3.
101-110. Требуется: а) изобразить графически область решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.
|
|
|
