6.2. Краткие теоретические сведения.
Решение.
1а) Для построения области решений строим в системе координат
соответствующие заданным ограничениям-неравенствам граничные прямые:
,
,
,
,
,
. Прямая
проходит через точки
и
;
- через точки
и
;
- через точки
и
;
совпадает с осью
;
совпадает с осью
;
проходит через точку
параллельно оси
.
2а) Находим полуплоскости
,
,
,
,
и
в которых выполняются неравенства. Для этого выбираем «пробную» точку и проверяем, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку. В противном случае берётся полуплоскость, не содержащая «пробной» точки. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой, например, начало координат
для нахождения полуплоскостей
,
,
,
. Полуплоскости, в которых неравенства выполняются, отмечаем стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.
3а) Строим область решений
как область, являющуюся пересечением полуплоскостей
, отмечая её штриховкой (см. рис. 4).
Для решения задачи линейного программирования графическим способом: 1б) Строим нормальный вектор
прямой
, являющейся линией уровня целевой функции
. (вектор
показывает направление возрастания значений целевой функции).
2б) Перпендикулярно вектору
проводим пунктиром линию уровня
.
3б) Параллельным перемещением линии уровня
находим крайние точки области допустимых решений
, в которых целевая функция достигает минимума – точку
и максимума – точку
.
4б) Определяем координаты точек
и
. Точку
(точка пересечения прямых
и
) находим решая систему уравнений
. Откуда
. Точку
(точка пересечения прямых
и
) находим решая систему уравнений
. Откуда
.
5б) Вычисляем:
и
.
Рис. 4
Ответ: а ) Область
(см. рис. 4)
б); .
111-120. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции
в следующем периоде (в усл. ден. ед. ). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0. 01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).
Отрасли
производства
| Отрасти потребления
| Конечный продукт
| Валовой
продукт
|
I
| II
| III
|
I
|
|
|
|
|
|
II
|
|
|
|
|
|
III
|
|
|
|
|
|
Чистый продукт
|
|
|
| | |
Валовой продукт
|
|
|
| | |
Решение.
1) Находим матрицу
коэффициентов прямых затрат
(
- номер отрасли производства,
- номер отрасли потребления) и устанавливаем её продуктивность:
,
, 
,
, 
,
,
.
Таким образом
.
Так как
(
) и
, то матрица
продуктивна и, следовательно, для любого
существует решение
уравнения Леонтьева:
, записываемое в виде
, где
- единичная матрица,
- матрица коэффициентов полных затрат,
и
- векторы (матрицы-столбцы) валового выпуска и конечного продукта, соответственно.
2а) Находим матрицу:
.
3а) Находим матрицу
, обратную к
, методом присоединённой матрицы, по формуле:
, где:
,
,
,
.
Тогда
.
1б) Находим вектор
валового выпуска на вектор
конечного продукта в плановом периоде, следующим за отчётным (в предположении, что матрица
, называемая также технологической, а, следовательно, и матрица
не изменяются, т. е.
) по формуле:
.
2б) Находим по формуле
(
) плановые межотраслевые поставки
, округляя полученные значения до целых (с учётом балансовых соотношений
,
):
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3б) Плановые объёмы
выпуска чистой продукции каждой из отраслей находим по формуле
:
,
,
.
Ответ: Межотраслевой баланс планового периода имеет вид:
Отрасли
производства
| Отрасти потребления
| Конечный продукт
| Валовой
продукт
|
I
| II
| III
|
I
|
|
|
|
|
|
II
|
|
|
|
|
|
III
|
|
|
|
|
|
Чистый продукт
|
|
|
| | |
Валовой продукт
|
|
|
| | |
6. 2. Краткие теоретические сведения.
Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка
называется квадратная таблица из чисел
(
,
):
, состоящая из
строк и
столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ:
и побочную диагональ:
. Любой квадратной матрице
порядка
можно поставить в соответствие число
, равное алгебраической сумме
слагаемых, составленных определённым образом из элементов
матрицы
, называемое определителем матрицы. Кратко обозначается
,
.
Определителем 1-ого порядка называется число
.
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число 
.
Минором элемента
называется определитель
, полученный из определителя
вычёркиванием
-ой строки и
-ого столбца.
Алгебраическим дополнением
элемента
называется его минор
, взятый со знаком
:
.
Определителем порядка
называется число

Разложением определителя
по
-ой строке (
) называется соотношение:
.
Разложением определителя
по
-ому столбцу (
) называется соотношение: 
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов:
.
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера
называется прямоугольная таблица из чисел
(
,
):
, состоящая из
строк и
столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут
.
Если
, то матрица
называется квадратной.
Нулевой называется матрица
, все элементы которой равны нулю, например:
. Единичной называется квадратная матрица
, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например:
. Треугольной называется квадратная матрица
, все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:
. Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица
, все элементы которой, расположенные ниже элементов
равны нулю, например:
.
Матрицы
и
называются равными и пишут
, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:
,
,
.
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице
называется матрица
, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы
.
Суммой (разностью) матриц
и
одного размера
, называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Произведением матрицы
размера
на число
называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Линейной комбинацией матриц
и
одного размера
, называется матрица
того же размера (
и
- произвольные числа), для которой:
,
,
,
Произведением матрицы
на матрицу
называется матрица
, каждый элемент которой
вычисляется по правилу:
,
,
.
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы
равно числу строк правой матрицы
. Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):
. Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае:
, т. е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы
и
, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут
.
Обратной к квадратной матрице
порядка
, называется матрица
того же порядка, если:
, где
- единичная матрица порядка
.
Квадратная матрица
называется невырожденной, если её определитель
. Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если
-невырожденная матрица, то
, где
- присоединённая матрица, для которой:
. Здесь
- алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
В частности, если
, то 
Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицы
порядка
строится прямоугольная матрица
размера
приписыванием к
справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица
приводится к виду
, что всегда возможно, если
- невырожденная.
Матричными называются уравнения вида:
,
,
,
где матрицы
- известны, матрица
- неизвестна. Если квадратные матрицы
и
- невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:
,
,
.
Минором
-ого порядка матрицы
размера
называется определитель
квадратной матрицы порядка
, образованной элементами матрицы
, стоящими на пересечении произвольно выбранных её
строк и
столбцов
. Максимальный порядок
отличных от нуля миноров матрицы
, называется её рангом и обозначается
или
, а любой минор порядка
, отличный от нуля – базисным минором.
Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
…Система уравнений вида:
называется системой
линейных уравнений с
неизвестными. Числа
называются коэффициентами системы,
- свободными членами системы,
- неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид:
, где
,
,
. Здесь
-матрица системы,
-матрица-столбец неизвестных,
-матрица-столбец свободных членов.
Если
, то система называется однородной , в противном случае неоднородной.
Система, матрица
которой является треугольной с диагональными элементами
, называется треугольной. Система, матрица
которой является трапециевидной, называется трапециевидной.
Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел
, обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называется множеством решений системы.
Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение
. Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:
1) перестановка уравнений;
2) перестановка местами слагаемых
в каждом из уравнений системы;
3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
4) прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;
5) вычёркивание уравнения вида:
.
Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Если число уравнений в системе
совпадает с числом неизвестных
и определитель матрицы системы
, то система имеет единственное решение, которое можно найти:
а) методом Крамера по формулам:
,
, где
- определитель, получаемый из определителя матрицы системы
заменой
-ого столбца на столбец свободных членов;
б) методом обратной матрицы по формуле
.
Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.
В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы
, которую получают, приписывая справа к матрице системы
столбец свободных членов
. В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системы
должна быть приведена к матрице
треугольного или трапециевидного вида с элементами
. При этом, система уравнений, матрица которой
, является треугольной с диагональными элементами
, будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой
, является трапециевидной с элементами
, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы
, в преобразованной матрице
появится строка
, где
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы
. Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентов
при которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.
В результате обратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице
прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения:
,
, …,
, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.
Уравнениямимежотраслевого баланса, описывающими процесс производства и потребления продукции
-отраслевой экономикой, называют уравнения
(
), где
- объём выпуска валовой продукции
-ой отраслью,
- объём продукции
-ой отрасли, потребляемый
-ой отраслью для производства своей продукции,
- объём выпуска конечной продукции
-ой отраслью, предназначенной для реализации в непроизводственной сфере.
Если предположить, что
(гипотеза линейности), где
- постоянные числа, характеризующие технологию производства (показывают затраты продукции
-ой отрасли на производство 1 единицы продукции
-ой отрасли) и называемые коэффициентами прямых затрат, то уравнения межотраслевого баланса запишутся в виде:
(
). Их называют уравнениями линейного межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева многоотраслевой экономики и записывают, как правило, в матричном виде:
, где
- единичная матрица;
- матрица коэффициентов прямых затрат;
и
- векторы (матрицы-столбцы) валового и конечного продукта, соответственно.
Основная задача линейного межотраслевого баланса состоит в отыскании вектора
, который при известной ма
Воспользуйтесь поиском по сайту: