 |
Решение. А) Метод Крамера. Б) Метод обратной матрицы. 2а) Так как , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
|
|
|
|
Решение.
А) Метод Крамера.
1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
.
2а) Так как 
, то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера: 
3а) Вычисляем определители 
:
,
,
.
4а) Находим решение: 
.
5а) Выполняем проверку: 
.
Ответ: 
.
Б) Метод обратной матрицы.
1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:
или 
2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
3б) Так как 
, то матрица системы 
имеет обратную матрицу 
и единственное решение системы определяется формулой:
или 
4б) Находим обратную матрицу 
(методом присоединённой матрицы):
.
Тогда 
.
5б) Находим решение: 
.
6б) Выполняем проверку: 
.
Ответ: 
.
В) Метод Гаусса.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В результате прямого хода матрица системы 
должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице 
треугольного или трапециевидного вида с элементами 
. Система уравнений, матрица которой является треугольной с элементами 
, имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой является трапециевидной с элементами 
, имеет бесконечно много решений.
. В результате элементарных преобразований матрица системы преобразована к специальному виду 
. Система уравнений, матрица которой , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.
|
|
|
Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы 
в преобразованной матрице 
появляется строка 
, где 
, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: 
и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных: 
.
4в) Выполняем проверку: .
Ответ: .
41-50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:
а).
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных 
и 
: 
. Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободными будут неизвестные 
и 
.
3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: 
. Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: 
, 
, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: 
.
Тогда общее решение системы запишется в виде: 
.
4а) Выполняем проверку:
.
Ответ: .
б).
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
Замечание. В результате прямого хода матрица системы должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице треугольного или трапециевидного вида с элементами .
|
|
|
Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы , в преобразованной матрице появляется строка , где , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
Для выполнения условия может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.
|
|
|
