Аргументация, следование, подтверждение

Как известно, в классической логике действуют два парадоксальных принципа – противоречие влечет, что угодно и закон логики следует из чего угодно. Если второй принцип представляется в общем-то безобидным – мало кто решит обосновывать в качестве тезиса закон логики – то первый принцип отличается большой разрушительной силой. Смысл его сводится к тому, что если в посылках присутствует противоречие, то каким бы ни было заключение, рассуждение считается правильным.

Пример 1. 2х2 = 5, следовательно, Москва – большой город, а Нью-Йорк – деревня.

С одной стороны, казалось бы, в этом нет ничего страшного: ни один здравомыслящий полемист не рассуждает подобным образом. С другой – как же быть с логикой как идеалом познавательной аргументации, если в классической логике подобное рассуждение признается корректным? Ответ достаточно прост. Средств классической логики не достаточно для формализации естественных человеческих рассуждений. Ближе всего к практике полемики – так называемая релевантная логика, предлагающая инструмент для построения непарадоксальных рассуждений. Подробнее познакомиться с основами релевантной логике можно в приложении к этому параграфу.

Таким образом, применение аппарата современной символической логики позволяет избежать появления парадоксов следования в процессе моделирования формы аргументации дедуктивного типа. Однако одними парадоксами проблемы, связанные с формой аргументации, не исчерпываются. Как уже отмечалось выше, большая часть обоснований и критик не носит дедуктивного характера. Им соответствуют правдоподобные рассуждения, в которых посылки лишь подтверждают заключение, делают его более вероятным. В таких рассуждениях между посылками и заключением устанавливается отношение подтверждения. Для установления отношения подтверждения используется понятие логической вероятности.

Согласно классической трактовке, вероятность понимается как отношение числа благоприятных исходов (случаев, когда искомое событие наступило) к общему числу все возможных исходов. Так, вероятность выпадения шестерки при бросании игрового кубика равна 1/6 (поскольку кубик имеет шесть граней и только одна из них обеспечивает наступление благоприятного исхода), а вероятность того, что подброшенная монета упадет «орлом» вверх равна ½ (у монеты всего две стороны). В логике вероятность трактуется как возможность истинности какого-либо высказывания. Логическая вероятность простого высказывания, в силу принципа двузначности, равна ½ (также как и у монеты, у высказывания всего «две стороны» – «истинная» и «ложная»). Для произвольного сложного высказывания логическую вероятность легко определить, пользуясь его таблицей истинности. При этом благоприятными исходами будем считать те, когда соответствующая высказыванию логическая форма принимает значение «истинно», а за общее число возможных исходов примем количество строк в таблице истинности.

Пример 2. Подсчитаем логическую вероятность высказывания «Петр сдаст экзамен или зачет». Это сложное разделительно (дизъюнктивное) высказывание, состоящее из двух простых, поэтому его логическая форма будет иметь вид p Ú q, где p – символ для обозначения высказывания «Петр сдаст экзамен», q – символ для обозначения высказывания «Петр сдаст зачет», а Ú - дизъюнкция, символ логического союза «или». Высказывания такого типа являются истинными, если, по крайней мере, одно из составляющих их высказываний истинно. Это условие истинности разделительного высказывания формально выражается с помощью следующей таблицы.

Всего в таблице четыре строки, соответствующие четырем возможным сочетаниям значений исходных высказываний. Таким образом, число возможных исходов равно четырем. Три исхода из четырех являются благоприятными, поскольку в этих случая все высказывание оказывается истинным (им соответствуют первая-третья строки в выделенном столбце). Таким образом, можно посчитать логическую вероятность истинности данного разделительного высказывания как отношение количества строк в таблице, в которых оно истинно (количество благоприятных исходов – 3), к общему количеству строк в таблице (количество возможных исходов – 4). Итак, логическая вероятность этого высказывания равна ¾.

Теперь можно дать формальное определение отношения подтверждения. Оно будет выражать нашу интуицию, касающуюся повышения вероятности.

Посылки А₁, А₂, …, А_n подтверждают заключение В, если и только если логическая вероятность заключения при условии истинности посылок выше, чем логическая вероятность заключения самого по себе.

Считать логическую вероятность высказывания самого по себе мы уже научились. Теперь предстоит описать механизм вычисления логической вероятности одного высказывания при условии истинности других. В теории вероятности этому соответствует процедура вычисления условной вероятности.

Вернемся к примеру 2. Допустим, нас интересует условная вероятность высказывания «Петр сдаст экзамен» при условии истинности дизъюнктивного высказывания «Петр сдаст экзамен или зачет». Мысленно вычеркнем из таблицы те строки, в которых конъюнктивное высказывание принимает значение «ложно». В результате останутся три строки, именно они и будет характеризовать возможные исходы. Теперь посмотрим, в каких из этих оставшихся трех строк логическая форма высказывания «Петр сдаст экзамен» принимает значение «истинно», то есть, наступает благоприятный исход. Это строки первая и вторая. Таким образом, условная вероятность высказывания «Петр сдаст экзамен» при условии истинности высказывания «Петр сдаст экзамен или зачет» равна 2/3.

В общем виде механизм подсчета вероятности высказывания А при условии истинности В может быть описан так.

1. Построим общую таблицу истинности для высказываний А и В.

2. Вычеркнем из таблицы те строки, в которых В ложно.

3. Условная вероятность А при В равна отношению количества строк, в которых А и В вместе истинны, к количеству строк, в которых истинно только В.

Пользуясь определением отношения подтверждения, каждый раз легко выяснить, подтверждают ли посылки заключение. В принципе возможны три результата подсчетов. Во-первых, случай, когда условная вероятность заключения при посылках больше, чем вероятность заключения самого по себе. Во-вторых, случай, в котором вероятность заключения оказалась больше, чем вероятность заключения при условии истинности посылок. Это означает, что посылки опровергают заключение (понижают его вероятность). Наконец, ситуация, когда значения вероятностей равны. В этом случае считается, что заключение не зависит от посылок.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3. Посылки: «Если работает механизм А, то работает и механизм В»; «Если не работает механизм С, то не работает механизм А».

Заключение: «Механизмы В и С не могут работать одновременно».

В данном случае посылками рассуждения являются условные (импликативные) высказывания. Такие высказывания ложны только в одном случае, когда их первая часть, выражающая условие (в логике она называется» антецедент»), истинна, а вторая часть («консеквент») – ложна. Заключение представляет собой соединительное (конъюнктивное) высказывание. Его условия истинности очень просты: соединительное высказывание истинно только в том случае, когда обе его части истинны. Для обозначения логических союзов «если, то» (импликация) и «и» (конънкция) используются символы É и &, соответственно. Отрицательные высказывания, образованные с помощью части цы «не» или конструкции «неверно, что», записываются с помощью символа Ø (отрицание). Такое высказывание является истинным, если отрицаемая часть в его составе ложна, и наоборот.

Для того, чтобы построить общую таблицу для двух посылок и заключения необходимо учесть все возможные случаи сочетания значений простых высказываний, входящих в их состав. Количество сочетаний (строк таблицы) вычисляется по формуле 2ⁿ, где n – количество различных простых высказываний. В нашем случае имеется три простых высказывания (обозначенных для удобства буквами А, В и С), следовательно, 2³ = 8. Таким образом, в таблице будет восемь строк.

Вероятность заключения равна 6/8, то есть ¾. Вероятность заключения при условии истинности посылок равна 3/5. Заливкой выделены строки, образующие множество возможных исходов для определения условной вероятности (в этих строках заключение ложно), а красным цветом – те случаи, которые образуют благополучные исходы.

Поскольку 3/5 < ¾, в данном случае вероятность заключения самого по себе выше вероятности заключения при условии истинности посылок. Следовательно, посылки опровергают заключение.

Использование аппарата теории вероятностей для определения отношения подтверждения (правдоподобного следования) предполагает умение строить таблицы истинности для сложных высказываний. Овладеть этим умением несложно, другое дело, что применение логических знаний в процессе полемики состоит не в буквальном рисовании таблиц истинности и сравнении дробей, а основывается на навыке, позволяющим увидеть наличие или отсутствие отношения подтверждения. Такой навык вырабатывается не сразу, не всегда и не у всех. Поэтому рассчитывать на широкое применение описанного выше формального аппарата в реальной полемической практике было бы наивно. Скорее, вероятностный подход может быть использован при построении теории аргументации как средство моделирования рассуждений в процессе полемики.

Рассмотренные в следующих параграфах способы рассуждений значительно ближе к практике.