Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев и систем

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ) L (w) определяется путем преобразования амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) A (w):

,

и имеет единицу измерения – децибел (дБ).

Для логарифмической фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ, ЛФХ) используется выражение , полученное для обычной фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

При построении рассматриваемых характеристик (рис. 26) для горизонтальной оси (оси частот) используется логарифмический масштаб, то есть положение конкретных частот на оси соответствует значениям их десятичных логарифмов. Другими словами, в обычном линейном масштабе по горизонтальной оси откладываются не сами частоты w, а значения lg w. Угловая частота, как и обычно, измеряется в 1/с (рад/с). Более удобной единицей измерения для оси абсцисс является декада (определение приводится ниже).

Рис. 26.

На рисунке выше горизонтальной оси указаны значения частот, ниже оси – их десятичных логарифмов.

Отметим следующие обстоятельства, характерные для используемого логарифмического масштаба:

1. Отрицательные частоты не рассматриваются.

2. Отметка частоты w=0 на оси отсутствует. При w®0 lg w® -¥, и соответствующие отметки частоты смещаются по горизонтальной оси влево в бесконечность.

3. Вертикальная ось проводится через отметку частоты, соответствующую нижней границе диапазона существенных частот для изображаемых характеристик.

4. Изменению значения частоты в k раз соответствует отрезок оси постоянной длины независимо от его расположения на оси.

5. Отрезок горизонтальной оси, соответствующий десятикратному изменению частоты, называется декадой. Длина декады, очевидно, постоянна независимо от ее расположения на оси.

На вертикальной оси откладываются в линейном масштабе значения L (w) в децибелах. С горизонтальной осью совмещается отметка 0 дБ.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика строится совместно с ЛАХ, причем горизонтальная ось у обеих характеристик полностью совпадает, а вертикальная ось для ЛФЧХ совмещается с вертикальной осью ЛАХ следующим образом:

1. Направление положительного отсчета значений ЛФЧХ – вниз.

2. С отметкой 0 дБ для ЛАХ (пересечение с горизонтальной осью) совмещается отметка -180° для ЛФЧХ.

Рассмотрим некоторые примеры построения логарифмических характеристик, позволяющие обнаружить основные закономерности их формирования.

Пример 4.1. Безынерционное звено:

Характеристики показаны на рис. 27а).

Рис. 27.

Пример 4.2. Идеальное дифференцирующее звено (k =1):

, ,

Поскольку вдоль горизонтальной оси используется линейный масштаб для lg w, график L (w) будет представлять собой прямую линию (рис. 27б). Ее наклон принято измерять в децибелах на декаду (дБ/дек). В рассматриваемом примере при увеличении w в 10 раз, то есть на одну декаду, L (w) получит приращение

дБ.

Поэтому наклон ЛАХ здесь составляет +20 дБ/дек.

При w=1 здесь lgw=0, и ЛАХ пересечет горизонтальную ось.

Пример 4.3. Идеальное дифференцирующее звено (общий случай):

,

, ,

.

ЛАХ также будет представлять собой прямую с наклоном +20 дБ/дек и по сравнению с предыдущим примером будет проходить на 20lg k децибел выше (рис. 27в).

Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью может быть найдена из условия:

,

откуда , .

При w=1 значение ЛАХ составит L (1)=20lg k.

Пример 4.4. Звено с передаточной функцией :

, ,

.

ЛАХ остается прямой линией, но ее наклон по сравнению с предыдущим случаем увеличится в два раза (рис. 28а).

Рис. 28.

ЛАХ пересекает горизонтальную ось при , .

При w=1 L (1)=20lg k.

Пример 4.5. Идеальное интегрирующее звено:

,

, ,

.

ЛАХ остается прямой линией (рис. 28б). Ее приращение при изменении частоты в 10 раз составит:

дБ.

Наклон ЛАХ –20дБ/дек.

Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью может быть найдена из условия:

,

откуда .

Пример 4.6. Звено с передаточной функцией :

, ,

.

ЛАХ – прямая линия, но ее наклон по сравнению с предыдущим примером увеличится в 3 раза и составит –60 дБ/дек (рис. 28в).

Точка пересечения ЛАХ с горизонтальной осью: , .

При w=1 L (1)=20lg k.

Нетрудно убедиться, что в общем случае для идеальных звеньев с передаточной функцией вида ЛАХ является прямой с наклоном 20 m дБ/дек и пересекает горизонтальную ось на частоте . При w=1 значение ЛАХ составляет 20lg k. ЛФЧХ является горизонтальной прямой и проходит на уровне 90. m °.

Для последующих примеров построение точных логарифмических характеристик возможно только на основе численного расчета, что не вызывает труда при использовании компьютера и программных средств типа MATLAB. Однако для решения практических задач большое значение имеют приемы их приближенного построения и прежде всего – построение асимптотической ЛАХ.

Пример 4.7. Звено с передаточной функцией W (s)= Ts +1:

,

, ,

.

Графики точных логарифмических характеристик показаны на рис. 29а.

Рис. 29.

Для построения асимптотической ЛАХ вводится сопрягающая частота w_с, исходя из условия равенства двух слагаемых, расположенных под корнем в выражении для ЛАХ: слагаемого, содержащего низшую степень частоты и слагаемого, содержащего высшую степень частоты. Для рассматриваемого примера получим:

, .

Далее рассматриваются два диапазона частот.

Для низких частот, определяемых условием w<<w_с, будет иметь место T w<<1, и выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

Соответствующий этому выражению график – прямая, совпадающая с левой частью горизонтальной оси, является асимптотой точной ЛАХ при w®0 (рис. 29б).

Для высоких частот, определяемых условием w>>w_с, будет иметь место T w>>1, и выражение для ЛАХ приближенно примет вид:

.

Нетрудно убедиться, что график этого выражения будет представлять собой прямую с наклоном +20дБ/дек. Эта прямая является асимптотой точной ЛАХ при w®¥. Она пересечет горизонтальную ось на частоте w₁=1/ T, то есть асимптоты точной ЛАХ пересекаются на сопрягающей частоте.

Асимптотической ЛАХ называется ломаная линия, состоящая из отрезков асимптот точной ЛАХ. Абсолютная величина погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной в рассматриваемом примере достигает максимума на сопрягающей частоте и составляет:

.

По мере удаления от сопрягающей частоты влево или вправо погрешность снижается и на расстоянии 0,3 декады от сопрягающей частоты уменьшится примерно в 3 раза, на расстоянии 0,5 декады от сопрягающей частоты – более, чем в 7 раз, а на расстоянии более декады от сопрягающей частоты будет пренебрежимо мала.

Отметим также некоторые свойства графика ЛФЧХ, соответствующего выражению arctg w T. Так как данное выражение входит в состав выражений для ЛФЧХ большинства более сложных звеньев и систем, эти свойства могут быть использованы для их приближенного анализа.

При w®0 асимптотой графика ЛФЧХ является горизонтальная прямая, проходящая через отметку 0°. При w®¥ асимптота – горизонтальная прямая, проходящая через отметку 90°.

На сопрягающей частоте 1/ T значение ЛФЧХ составляет 45°. Эта точка является центром симметрии всего графика (рис. 29б).

Пример 4.8. Апериодическое звено 1-го порядка:

,

,

,

.

Примем сначала k =1. Рассмотрев, аналогично предыдущему примеру, низкие и высокие частоты, разделенные сопрягающей частотой , нетрудно получить асимптотическую ЛАХ (рис. 30а). Единственное отличие от предыдущего примера будет состоять в противоположном наклоне второго участка. Он составит –20 дБ/дек.

Рис. 30.

При k ¹1 весь график сместится вверх при k> 1 (20lg k >0), а при k <1 – вниз (20lg k < 0). Оценка погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной аналогична полученной в предыдущем примере.

Все результаты, полученные для ЛФЧХ, также сохраняются с учетом смены знака (рис. 30б).

В общем случае для звена с передаточной функцией W (s)= k (Ts +1) ^m, где m =0, ±1, ±2, … получим следующие соотношения:

,

,

.

Отметим следующие закономерности:

- величина сопрягающей частоты, разделяющей участки асимптотической ЛАХ, w_с=1/ T,

- первый участок асимптотической ЛАХ горизонтален и проходит на уровне 20lg k,

- наклон второго участка 20. m дБ/дек,

- абсолютная величина погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной максимальна по сопрягающей частоте и составляет 3. m дБ,

- значение ЛФЧХ монотонно изменяется от 0° (при w®0) до 90°× m (при w®¥); на сопрягающей частоте ее значение составляет 45°× m; эта точка является точкой симметрии всего графика ЛФЧХ.

Пример 4.9. Построить асимптотическую ЛАХ для системы с передаточной функцией:

,

где k =2,5с^-3, T ₁=10с, T ₂=0,25с, T ₃=0,0125с, T ₄=0,8с.

Выражения для АЧХ и точной ЛАХ будут иметь вид:

,

.

Далее выполним следующую последовательность действий.

1. Найдем сопрягающие частоты, соответствующие отдельным слагаемым, и запишем их в порядке возрастания:

с^-1; с^-1; с^-1; с^-1.

2. Выберем масштаб для оси частот так, чтобы крайние сопрягающие частоты располагались на расстоянии от 0,5 до 1 декады от краев видимой горизонтальной оси. Через сопрягающие частоты проведем вертикальные пунктирные прямые, которые будут границами участков асимптотической ЛАХ (рис. 31).

Рис. 31.

3. Первый участок расположен левее всех сопрягающих частот. Следовательно, его уравнение, получаемое по условию w<<1/ T_i (i =1,2,3,4), будет иметь вид:

.

Это уравнение прямой с наклоном –60 дБ/дек. Для ее построения необходимо найти опорные точки (рис. 32). Например:

- w=1 с^-1: L ⁽¹⁾(1)=20lg k= 20lg2,5=8 дБ;

- w=0,1 с^-1: L ⁽¹⁾(0,1)=20lg2,5 - 60lg0,1=8+60=68 дБ.

В качестве опорной может также использоваться точка пересечения данной прямой с горизонтальной осью, координаты которой могут быть найдены из условия L ⁽¹⁾(w₁)=0:

,

, с^-1.

Рис. 32.

Для последующего построения потребуется также точка пересечения первого участка асимптотической ЛАХ с границей участка. Ее координаты: с^-1, L ⁽¹⁾(0,1)=68 дБ.

Отрезок асимптотической ЛАХ, выходящий за пределы соответствующего участка, показывают пунктирной линией.

4. Второй участок расположен правее сопрягающей частоты 1/ T ₁, которой в выражении для ЛАХ соответствует коэффициент +20. Следовательно, наклон второго участка по сравнению с первым изменится на величину +20 дБ/дек и составит –40 дБ/дек. Координата левой границы участка получена выше: (0,5 с^-1; 68 дБ). Длина участка вдоль горизонтальной оси составляет декады. Асимптотическая ЛАХ на данном участке получит приращение:

–40 дБ/дек ´ 1,1 дек = –44 дБ,

и координаты правой границы участка будут равны (рис. 33):

w=1,25 с^-1; L ⁽²⁾(1,25)=68 –44= 24 дБ.

Рис. 33.

5. Третий участок разделен со вторым сопрягающей частотой 1/ T ₄. Дополнительный наклон по отношению ко второму участку равен - 40 дБ/дек. Следовательно, наклон участка составит –80 дБ/дек. Длина участка декады, координаты правой границы (рис. 34):

w=4 с^-1 и L ⁽³⁾(4)= 24 – 80дБ/дек ´ 0,5дек= –16 дБ.

Рис. 34.

6. Четвертый участок разделен с третьим сопрягающей частотой 1/ T ₂. Дополнительный наклон по отношению к третьему участку равен +40 дБ/дек. Следовательно, наклон участка составит –40 дБ/дек. Длина участка декады, координаты правой границы (рис. 35):

w=80 с^-1 и L ⁽⁴⁾(80)= –16 – 40´1,3= –68 дБ.

Рис. 35.

7. Пятый участок разделен с четвертым сопрягающей частотой 1/ T ₃. Дополнительный наклон по отношению к четвертому участку равен –20 дБ/дек. Следовательно, наклон участка составит –60 дБ/дек. Для его построения необходимо рассчитать в дополнение к начальной еще одну его точку на любой частоте, например: w=200 с^-1 и L ⁽⁵⁾(200)= –68 – 60´0,4= –92 дБ.

Результирующая асимптотическая ЛАХ показана на рис. 36.

Рис. 36.

Пунктиром на рис. 36 добавлена точная ЛАХ для рассматриваемого примера. Сопрягающие частоты и удалены от ближайших к ним сопрягающих частот на расстояние более 0,7 декады. Поэтому на этих частотах погрешности равны соответственно 6 и 3 дБ. В окрестности сопрягающих частот и их взаимное влияние приводит к некоторому снижению погрешности.

 

Контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы

1. Перечислите правила формирования системы координат и выбора масштабов по осям для построения логарифмических частотных характеристик.

2. Каково расстояние в декадах между отметками частот 0,08 с^-1 и 250 с^-1 на горизонтальной оси?

3. Как изменится вертикальная координата точки асимптотической ЛАХ при движении по участку с наклоном -40 дБ/дек от частоты 0,4 с^-1 до 8 с^-1?

4. Как связана погрешность асимптотической ЛАХ по отношению к точной на сопрягающей частоте с изменением наклона асимптотической ЛАХ на этой частоте?

5. При каком условии погрешность асимптотической ЛАХ на сопрягающей частоте можно считать независимой от наличия других сопрягающих частот?

6. Используя результаты решения задачи для самостоятельной работы №5 к практическому занятию №3, определите для колебательного звена значение коэффициента демпфирования , при котором высота резонансного пика составляет 3 дБ.

7. Постройте асимптотические ЛАХ для систем с передаточными функциями:

а) , k =0,2 c², T ₁=0,8 c, T ₂=2 c, T ₃=0,05 c, T ₄=40 c;

б) , k =25 c², T ₁=0,02 c, T ₂=4 c, T ₃=0,125 c, T ₄=50 c.

Практическое занятие 5

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: