 |
Оценка качества систем управления
|
|
|
|
Пример 8.1.
Определить значения не менее шести показателей качества замкнутой системы (рис. 69) при T =0,5 c.; k= 4; 
.
Рис.69.
Найдем передаточные функции замкнутой системы:
, 
, 
;
,
.
Характеристический полином системы 
имеет второй порядок, все его коэффициенты положительны. Следовательно, система устойчива.
Установившейся ошибкой называют постоянное значение сигнала ошибки x (t)= g (t) -y (t), которое она приобретает по окончании переходного процесса: 
. В рассматриваемой системе установившаяся ошибка полностью определяется задающим воздействием, xуст = xg.
Непосредственно для расчета установившегося значения ошибки используют теорему о конечном значении для преобразования Лапласа:
,
где изображение сигнала ошибки определяется через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке 
и изображение задающего воздействия G (s) (Приложение 1).
Рассчитаем установившуюся ошибку:
. (8.1)
Ряд показателей запаса устойчивости и быстродействия определяются по корням характеристического полинома [1]. Найдем корни для рассматриваемой системы:
,
, 
Теперь можем определить показатели быстродействия:
степень устойчивости 
, (8.2)
оценку времени переходного процесса 
, (8.3)
а также показатели запаса устойчивости:
колебательность 
, (8.4)
затухание за период
. (8.5)
Перейдем к частотным характеристикам разомкнутой системы:
,
.
Из условия 
найдем частоту среза (входит в перечень показателей быстродействия):
, 
, (8.6)
и запас устойчивости по фазе:
. (8.7)
Дополнительно можно указать величину запаса устойчивости по амплитуде. Поскольку для рассматриваемой системы логарифмическая фазо-частотная характеристика (рис. 70) асимптотически стремится к горизонтальной оси, не пересекая ее, запас по амплитуде можно принять равным бесконечности.
|
|
|
Рис.70.
Пример 8.2.
Рассчитать установившуюся ошибку в системе (рис. 71).
Рис.71.
Упростим структурную схему с учетом известных соотношений для отрицательной обратной связи и параллельного соединения звеньев (рис. 72 а,б).
Рис.72.
При наличии нескольких входных сигналов в линейной системе установившаяся ошибка определяется на основе принципа суперпозиции как сумма ошибок, вызванных действием каждого из сигналов в отдельности: 
.
Найдем требуемые передаточные функции и рассчитаем установившуюся ошибку от задающего воздействия:
,
,
.
Отметим, что по задающему воздействию рассматриваемая система обладает свойством астатизма (установившаяся ошибка тождественно равна нулю независимо от величины входного сигнала).
Выполним расчет для возмущения f 1:
,
.
Выполним расчет для возмущения f 2:
,
,
.
Для возмущающих воздействий свойством астатизма рассматриваемая система не обладает (система является статической по рассматриваемым возмущениям).
Результирующая установившаяся ошибка:
.
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы
1. Для системы из примера 8.1 определите по ЛАХ на рис. 70 частоту среза и рассчитайте по ней запас устойчивости по фазе. Оцените погрешность по сравнению с (8.7). Чем она определяется?
2. При анализе точности систем по величине установившейся ошибки рассматривают типовые режимы работы, определяемые входными сигналами, законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени. Например, для задающего воздействия: 
, 
, 
и так далее.
Рис.73.
Рассматривая для системы на рис. 73 передаточные функции:
а) 
; б) 
;
в) 
–
и первые три члена степенного ряда, заполните последнюю графу таблицы 1.
Замечание: порядок астатизма соответствует количеству первых членов степенного ряда (типовых режимов работы системы), для которых установившаяся ошибка тождественно равна нулю.
|
|
|
Сформулируйте структурный признак астатизма по задающему воздействию, позволяющий обнаруживать астатизм и определять его порядок по виду передаточной функции разомкнутой системы.
Ответьте на следующие вопросы:
а) сохраняется ли полученный структурный признак для систем с неединичной обратной связью?
б) как влияют динамические свойства системы, отражаемые постоянными времени, на установившуюся ошибку?
Таблица 1 – Установившаяся ошибка от задающего воздействия в типовых режимах работы
| Характер системы | Характер входного воздействия | Предельное (установившееся) значение ошибки |
| Статическая (не обладает свойством астатизма) | ступенчатое (постоянное)
| |
| линейно возрастающее
| ||
квадратично возрастающее 
| ||
| Астатическая (первый порядок астатизма) |
| |
|
| ||
|
| ||
| Астатическая (второй порядок астатизма) |
| |
|
| ||
|
|
3. Рассматривая типовые законы изменения 
, 
, 
для всех возмущающих воздействий для системы на рис. 74, составьте и заполните таблицу, аналогичную таблице 1, для установившейся ошибки от возмущающего воздействия.
Рис. 74.
Указание: при составлении передаточных функций разомкнутой системы ввести, выразить через параметры звеньев и использовать в выражениях для установившейся ошибки коэффициенты передачи по задающему k и возмущающим kf воздействиям.
Сформулируйте структурный признак астатизма по возмущающему воздействию, позволяющий обнаруживать астатизм и определять его порядок по структурной схеме системы.
Проанализируйте влияние на астатизм по возмущающему воздействию перехода от единичной обратной связи к обратной связи с передаточными функциями: а) 
; б) 
; в) 
. Обобщите формулировку структурного признака астатизма по возмущению на случай произвольной обратной связи.
4. Какое минимальное значение установившейся ошибки можно наблюдать в системе на рис. 75 и при каком значении k? Ответы дать с точностью до 0,1.
Рис.75.
Указание: при решении задачи учесть, что наблюдать установившуюся ошибку можно только в устойчивой системе.
Практическое занятие 9
|
|
|
