 |
2. Конические сечения, методы построения проекций конических сечений.
|
|
|
|
2. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ.
Конические сечения - плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.
Рис. 1.
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ как результат
пересечения плоскости с конусом.
Три основных типа конических сечений:
а – эллипс, б – парабола, в – гипербола.
Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна;
параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой;
гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.
Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.
|
|
|
1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.
С точки зрения аналитической геометрии К. с. — действительные нераспадающиеся линии второго порядка.
Билет № 23.
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СЕКУЩИЕ СФЕРЫ.
Наиболее часто в качестве поверхностей- посредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей: способ вспомогательных плоскостей и способ вспомогательных сфер. Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.
Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически простым линиям некоторой совокупностью проецирующих плоскостей или, в частности, совокупностью плоскостей уровня.
Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии пересечения таких поверхностей, которые имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно какой либо плоскости проекций. При этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. Способ вспомогательных секущих сфер можно применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны какой- либо плоскости проекций.
|
|
|
Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхностей различают точки опорные и случайные.
В первую очередь определяют опорные точки, так как они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определять случайные точки для более точного построения линии пересечения,
Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным центром
Известно, что если центр сферы находится на оси какой- нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получаются окружности AB, CD, EF, КL(, рис5. 15 ).
Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер, который применяют при следующих условиях:
1. 0бе пересекающиеся поверхности- поверхности вращения.
2. Оси поверхностей пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных, (концентрических) сфер.
3. Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть, параллельна плоскости проекции. Если это условие не соблюдается, то чтобы его достигнуть, прибегают к способам преобразования чертежа.
|
|
|
