Схема независимых испытаний Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний с 2 исходами: событие А или появится или не появится.

, ,

Под элементарным событием в схеме Бернулли принимается последовательность наступлений и ненаступлений события А в n испытаниях.

Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элементарный исход можно представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц: (1,0,…, 1).

Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно m раз.

Найдем сначала вероятность того, что в 3-х испытаниях событие А появится 2 раза при условии, что вероятность наступления в одном испытании равна p.

При этом возможны следующие элементарные исходы

(1,1,0); (0,1,1); (1,0,1).

Вероятность каждого элементарного исхода одинакова и равна p²q. Таким образом, вероятность того, что в 3-х испытаниях событие наступит 2 раза

.

Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна p^mq^n-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли

. (5.1)

При изменении m от 0 до n вероятность в формуле Бернулли сначала растет, а потом 4убывает, то число m₀ при котором эта вероятность достигает максимального значения наз. наивероятнейшим. Можно показать, что это число равно Если m₀ не является целым числом, то его следует округлить до ближайшего целого с избытком, а если m₀ целое число, то наивероятнейших чисел 2.

Часто интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m₁ до m₂ раз включительно

(5).

8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.