 |
Доверительные интервалы.
|
|
|
|
Пусть вид распределения изучаемого признака известен, но не известно значение входящего параметра 
. F(х, ) 
Оценка 
одним числом наз-ся точечной, а двумя числами – концами интервала – интервальной.
Пусть по выборке получена точечная оценка 
неизвестного параметра 
. Это оценка чем точнее, чем меньше | 
- |.
Пусть | 
- |< 
, >0.
Методы математической статистики не позволяют на 100% утверждать, что выполняется это неравенство. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения.Обозначим эту вероятность 
.
P(| 
- 
|< 
)= 
-доверительная вероятность или надежность. выбирается исследователем самостоятельно.
- точность оценки
P(
- 
< 
< 
+ 
)= 
Доверительным называется интервал (
- 
; + 
), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью 
.
- точность оценки.
Замечание:
Неверно говорить, что попадает в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе .
Доверительные интервалы строятся следующим образом:
1. вычисляется точечная оценка
2. выбирается надежность 
3. вычисляется точность оценки
33. Распределение Х2 Стьюдента и Фишера.
Рассмотрим распределение случайных величин, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.
1. пусть 
независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина 
называется распределенной по закону 
с n степенями свободы.
|
При n 
распределение 
медленно стремится к нормальному.
2. Пусть 
независимы и 
, тогда случайная величина 
называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.
Плотность распределения Стьюдента схожа с нормальной.
|
|
|
При k 
распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному.
1. Пусть 
независимы и имеют распределение 
с k1 и k2 числом степеней свободы.
2. Тогда распределение 
~F(k1,k2) называется распределением по закону Фишера с k1 и k2 числом степеней свободы.
Замечание. 1) cлучайная величина Фишера строится так, что она всегда больше 1.
2) k1 относится к числителю.
Т.о. эти случайные величины представляют собой функциональные преобразования нормальных случайных величин.
34. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном 
.
Пусть имеется независимая выборка (x1, x2,…,xn) и пусть известно, что она взята из нормального распределения с параметрами 
и а.
(x1, x2,…,xn) ~ N(a, 
)
Ставиться задача построить доверительный интервал для а при заданном .
Несмещенной и состоятельной оценкой мат ожидания явл средняя
в
Можно показать, что линейная комбинация нормально-распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение.=> 
имеет нормальное распределение
Вычислим вероятность заданного отклонения
Пусть 
известна
Воспользуемся формулой вероятности заданного отклонения для нормальной случайной величины.
= 
, где Ф0- табл значение
В результате доверительный интервал будет иметь вид
Замечание.
Пусть требуется определить объем выборки, которая обеспечивает заданную надежность и точность
n= 
Если n дробное, то его всегда следует округлить до ближайшего целого с избытком.
35. Доверительные интервалы для оценки матожидания нормального распределения при неизвестном 
.
Пусть имеется независимая выборка (x1, x2,…,xn) и пусть известно, что она взята из нормального распределения с параметрами и а.
(x1, x2,…,xn) ~ N(a, 
)
Ставиться задача построить доверительный интервал для а при заданном .
Несмещенной и состоятельной оценкой мат ожидания явл средняя
в
|
|
|
Можно показать, что линейная комбинация нормально-распределенных случайных величин также имеет нормальное распределение.=> 
имеет нормальное распределение 
Вычислим вероятность заданного отклонения Пусть 
- неизвестна
В этом случае доверительный интервал имеет аналогичный вид, только вместо 
необходимо вставить ее несмещенную оценку
находят на основании распределения Стьюдента (числом) из уравнения
P(x, n-1) – плотность распределения Стьюдента с числом степеней свободы (n-1).
Доверительный интервал будет иметь вид
Замечание.
Т. к. при n → ∞распределение Стьюдента быстро стремиться к нормальному, то для больших n (>100) при нахождении можно пользоваться табл ф-ции Лапласса 
36. Проверка статистических гипотез.
Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.
Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза H0.
Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H1, которая противоречит нулевой.
Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы H0.
При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка 1-го рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается 
.
Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную конкурирующую гипотезу. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается 
. 
Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно.
Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах.
Значение статистического критерия при котором H0 принимают называется областью принятия гипотезы.
Значения критерия при которых гипотезу H0 отвергают называется критической областью.
Точка, которая отделяет эти области называется критической.
Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством 
Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством 
Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенствами
|
|
|
и 
Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом.
1. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (Кнабл)
2. если Кнабл попало в критическую область нулевую гипотезу H0 отвергаюти принимают H1, а если в область принятия гипотезы, то говорят, что нет основания отвергнуть H0.
|
|
|
