Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего мат. ожидания.

Выполним преобразования:

,

.

Для дискретной случайной величины с законом распределения x_i p_i дисперсия равна

D =

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности дисперсия равна

.

 

Следовательно дисперсия характеризует рассеяние возможных значений вокруг своего математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии.

Свойства дисперсии

1.DC=0, c=const. Т.к. D(C)=M(C-M(C))²=M(C-C²)=0

2. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Следствие

Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате

.

 

3. Если и = const, то

, т.е.

.

 

Коэффициент корреляции и ковариация.

Коэффициентом корреляции называется

p( 1, 2)=

Свойства

1.

2. если 1 и 2 независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Обратное не верно. Если p=0, то говорят, что ₁ и ₂ некоррелированы.

3.если ₁ и ₂ связаны линейной функциональной зависимостью _{2= a+b 1}, то в этом случае [p( ₁, ₂)]=1

cov ( ₁, ₂) =M [ ( ₁ - M ₁)(a + b ₁ – a - bM ₁)]=bM( ₁ - M ₁)²=bD ₁

Если , то говорят, что ₁ и ₂ связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе к 1.

Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики зависимости между случайными величинами.

Если , то говорят, что зависимость близка к линейной.

Ковариацией случайных величин

Cov( ₁, ₂)=M[( ₁-M ₁)( ₂-M ₂)]

Называется мат. Ожидание. произведения отклонений случайных величин от своих МО.

Свойства ковариации

1. cov( ₁, ₁)=M( ₁-M ₁)²=D ₁

2. для независимых случайных величин коэффициент ковариации равен 0

cov ( ₁, ₂)=M ₁M ₂-M ₁M ₂=0

Но обратное не верно. Т.е. можно привести пример, когда коэфф. ковариации равен 0, но случайные величины зависимы.

3.

4. cov (C ₁, ₂)=C cov ( ₁, ₂)

Ковариация является качественной характеристикой зависимости случайных величин.

 

 

Моменты.

Обобщающими понятиями от матожидания и дисперсии являются моменты

Начальным моментом порядка k называется матожидание .

mk=M

m_=Mξ, m₂=Mξ²

Центральным моментом ожидания порядка k называется матожидание в степени k отклонения случайной величины от своего математического ожидания υ_k=M( -M )^k=0

Например второй центральный момент это дисперсия.

υ₂=M ( -M )²=D =M - (M )² _

Любой центральный момент можно выразить через начальный. Например третий центральный момент

υ_k=f(μ₁, …,μ_k)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Читайте также:

Внутригрупповая дисперсия
Дисперсия и цвет тел.
Дисперсия показателя преломления различных материалов. Коэффициенты поглощения, отражения и пропускания.
Дисперсия показателя преломления. Зависимость показателей преломления от температуры, давления. Мольная рефракция.
Дисперсия света№ микроскопическая картина и ла ла ла
Дифракционная решетка, её дисперсия и разрешающая способность.
Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание, дисперсия.
Показатель преломления. Дисперсия. Нормальная и аномальная дисперсия.

Воспользуйтесь поиском по сайту: