 |
Потенциальная энергия. Закон сохранения
|
|
|
|
Потенциальная энергия. Закон сохранения
полной механической энергии
§ 1. Консервативные и неконсервативные силы
Консервативные (от латинского conservativus – охранительный) – это т а-
кие силы, Р АБОТА которых не зависит от траектории, а определяется только
начал ьным и конечным положением материальной точки.
Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неко н-
сервативными.
Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо выч ислить ее
работу.
Консервативность силы тяжести
Рис. 6. 1
Вычислим работу (5. 4) силы тяжести (4. 7) при движении материал ь-
ной точки массой m из положения 1 в положение 2 по произвольной траект о-
рии, изображенной на рис. 6. 1 стрелочками. На рисунке дан вид сбоку. При в ы-
QQQQQQQQQQ. с лении работы по формуле (5. 4) воспользуемся тем, что сила тяжести
Это позволяет вынести ее за знак интеграла. Оставшийся интеграл
от вектора дает, очевидно (ри с. 6. 1), вектор . Затем, расписав ск алярное
произведение = , выразим через разность высот .
Изложенная програ мма реализована следующим обра зом.
.
Ясно, что при любой траектории ответ будет таким же. Значит, сила
тяжести консервативна, так как ее работа не зависит от выбора траектории, а
|
|
|
оп ределяется лишь начальным и конечным положением материальн ой точки:
(6. 1)
Неконсервативность силы трения
Вычислим теперь работу (5. 4) силы трения (4. 9) при движении материал ь-
ной точки m из положения 1 в положение 2 по произвольной траектории, из о-
бражен ной на рис. 6. 2.
На этом рисунке изображен вид сверху.
Сила трения всегда направлена против скорости, следовательно, при в ы-
числении работы можно во спользоваться тем, что косинус угла между силой
трения и всегда будет равен минус единице.
Известно, что –
пройде нный путь.
Модуль силы трения п о-
стоянен. Это позволяет вынести
за знак интеграла. Т еперь
под интегралом, в отличие от
Рис. 6. 2 предыдуще го случая (вывод
формулы (6. 1)), остается ск а-
лярная величина ds. Интеграл от скаляра ds дает путь s12, который, оч евидно,
зависит от траектории. Реализуем эту пр ограмму:
.
Ответ зависит от выбора траектории , значит, сила трения неко нсерв а-
тивна.
§ 2. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия может быть введена только для поля консерв а-
тивных сил.
Так как их работа не зависит от траектории, а зависит только от начальн о-
го и конечного положений материальной точки, то эту работу можн о записать в
виде разности двух чисел: одно – W П1 – будет зависеть от начального полож е-
ния тела, второе – W П2 – от конечного положения тела.
, (6. 2)
|
|
|
где W П1 – потенциальная энергия тела в положении 1;
WП2 – потенциальная энергия в положении 2.
Работа в потенциальном поле сил равна убыли потенциальной энергии.
Некоторые конкретные выражения для потенциальной энергии W n(r)
Для нахождения конкретного вида зависимости W П (r) необходимо вычислить
работу В частности, для однородного поля тяжести, где
, используя (6. 1), получим:
. (6. 3)
Если – гравитационная сила, то
(6. 4)
Если – кулоновская сила то
. (6. 5)
Если – сила упругости (4. 8), то
. (6. 6)
§ 3. Закон сохранения механической энергии
Сначала получим закон сохранения механической энергии для одной мат е-
риальной точки, движущейся в поле консервативных сил. Работа этих сил, с
одной стороны (5. 10), равна приращению кинетической энергии материальной точки:
A W
12 = W k2 – k1.
С другой стороны (6. 2), та же работа равна убыли потенциальной эне р-
гии м атериальной точки:
Исключая из записанных выше выражений, получим:
или
(6. 7)
Полученное равенство означает, что в поле консервативных сил сумма к и-
нетической и потенциальной энергии матер иальной точки остается пост о-
янной, т. е. сохраняется.
Сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки наз ы-
вается ее полной механической энергией W:
(6. 8)
Полная механическая энергия материальной точки в поле консервативных
сил сохраняется.
Полная механическая энергия системы материальных точек
Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой матер и-
альных точек, полная механическая энергия:
. (6. 9)
Первый член в формуле (6. 9) – это кинетическая энергия системы, которая
|
|
|
ра в на сумме кинетических энергий материальных точек, входящих в систему.
Второй член дает потенциальную энергию взаимодействия материальных точек
системы м ежду собой. В нем под знаком суммы стоит W п i, k – потенциальная
энергия взаимодействия i -й материальной точки с k -й материальной точкой.
В формуле (6. 9):
– кинетическая энергия системы;
Wп – потенциальная энергия взаимодействия все х частиц системы между
собой.
Закон сохранения полной механической энергии
|
|
|
