 |
Угловая скорость
|
|
|
|
Рис. 7. 1б
§ 2. Псевдовектор бесконечно малого п оворота
Любое движение твердого тела можно разложить на поступательное и
вращательное. Например, движение Земли состоит из поступательного движ е-
ния по эл липтической траектории вокруг Солнца и вращательного движения
вокруг собственной оси. При изучении поступательного движения в больши н-
стве случаев можно использовать модель матер и-
альной точки. При изучении вращательного дв и-
жения используют модель абсолютно твердого т е-
ла. При этом, в случае закрепленной оси вращения,
положение абсолютно твердого т ела в пространс т-
ве можно задать всего лишь одной переменной –
зависящим от времени углом поворота (t). Ок а-
зывается, бесконечно малым углам поворота мо ж-
но придать ве кторный характер, при этом направл е-
ние вектора связывают с направлением вращ ения.
Векторы, направления которых связываются с
направлением вращения, называются псевдовект о-
рами.
При повороте тела на угол вводят псевд о-
вектор бесконе чно малого поворота. В правой
системе координат направление опред еляют
правилом правого винта: винт, расположенный
вдоль оси, вращается вместе с телом, направление
Рис. 7. 2 его поступательного движения определяет н а-
правление псевдове ктора (рис. 7. 2).
|
|
|
В 
левой системе координат направление псевдовектора изменится на о б- ратное, истинный вектор при этом не меняет направления.
Модуль псевдовектора равен величине угла п оворота.
§ 3. Угловая скорос ть и угловое ускорение
Угловая скорость и угловое ускорение вводятся с помощью определений,
аналогичных определениям скор ости (2. 1) и ускорения (2. 7).
Угловая скорость
Угловой скоростью называется векторная велич и-
на, равная первой прои зво д ной угла пово рота тела по
времени.
, или. (7. 1)
Псевдовектор направлен по оси вращения так
же, как и псевдовектор (рис. 7. 3).
Радиан – единица измерения угла – величина бе з-
размерная (см. на рис. 3. 2), поэтому из (7. 1) след у-
ет, что угловая скорость измеряется в рад/с или в с -1.
Рис.
Угловое ускорение
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой
производной угловой ско рости по времени или второй производной угла пов о-
рота по времени.
. (7. 2)
Из (7. 2) следует, что размерность углового ускорения . Из опр е-
деления (7. 2) следует, что углов ое ускорение является псевдовектором.
В случае закрепленной оси вращения направление углового ускорения
совпадает с направлением угловой скорости при ускоренном движении и пр о-
тивоположно при заме дленном.
§ 4. Связь угловых и линейных кинематич еских величин
Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек с неизменными ра сстояниями между ними. Эти точки при вращательном
|
|
|
движении движутся по окружностям, центры кот орых лежат на оси вращения
(см. рис. 7. 1б). Линейные скорости точек твердого тела и их линейные уск о-
рения связаны с угловыми кинематическими величинами , а также з а-
висят от расстояния R материальной точки до оси вращ ения.
Найдем связь линейной скорости материальной
точки твердого тела и у гловой скорости. Из определ е-
ния радианной меры угла следует связь бесконечно
малого отрезка пути ds материальной точки, удале н-
ной от оси вращения на расстояние R с углом повор о-
LLLLLLLLLL. d (рис. 7. 4, а также см. рис. 3. 2). Испо льзуя эту
связь и определение модуля линейной скорости (2. 3),
пол у чим:
,
откуда
. (7. 3)
Рис. 7. 4 Формула (7. 3) выражает связь между модулями
линейной и угловой скорости: линейная скорость
равн а угловой, умноженной на радиус окружности, по которой движется мат е-
риальная точка.
В векторном виде связь записывается следующим образом:
, (7. 4)
здесь квадрат ные скобки обозначают векторное произведение векторов
Направление векторного произведения определяется по правилу правого
винта:
а) винт устанавливают перпендикулярно перемножаемым векторам (у нас
это );
б) ви нт вращают от первого вектора ко второму по кратчайшему рассто я-
нию (у нас – от );
в) направление поступательного движения винта укажет направление
векто рного произведения (у нас – направление вектора ).
Модуль векторного произведения:
где – угол между векторами .
Если = 90, то sin = 1, и связь между модулями линейной и угловой
|
|
|
скорости дается формулой:
совпадающей с формулой (7. 3 ).
Связь модуля линейного ускорения материальной точки твердого тела с
угловой скоростью и угловым ускорением найдем, если продифференцируем
по вр емени формулу (7. 3):
,
,
так как (см. ( 3. 3а)), то, используя (7. 2), получим:
. (7. 5)
В векторной форме:
. (7. 5а)
Формула (7. 5а) дает связь тангенциального у скорения с угловым.
Найдем связь нормального ускорения с угловой скоростью.
Так как (3. 4а), заменяя в этой формуле из (7. 3), пол учим
связь нормального ускорения с угловой скоростью:
. (7. 6)
В векторном виде:
(7. 7)
Знак «минус» указывает на то, что векторы имеют противополо ж-
ные н аправления.
§ 5. Решение основной задачи механики для вращательного
движ ения тела с закрепленной осью
При вращательном движении положение абсолютно твердого тела задае тся
зависимостью угла поворота от вр емени t. В случае равномерного вращ ения
и равноускоренного вращения такая зависимость может
быть найдена по аналогии с равномерным (см. лекцию № 2, § 2) и равноуск о-
ренным движением материальной точки (см. лекц ию № 3, § 2 и форм улы (3. 6) и
(3. 7)).
Рассмотрим сначала равномерное вращение. Запишем следствие из опр е-
дел е ния (7. 1) угловой скорости в следующем виде:
, 
(7. 1а)
здесь мы опустили знаки векторов, т. к. ось вращения закреплена.
При = const интегрирование формулы (7. 1а), выполненное аналогично
интегрированию формулы (2. 3а) в лекции № 2, § 2 дает следующий результат:
(7. 8)
здесь – значение угла поворота в начальный момент времени. При
|
|
|
имеем:
(7. 8а)
Формула (7. 8а) аналогична формуле (2. 5), по к оторой находится путь при
ра в номерном движении материальной точки.
Периодом равномерного вращения Т называют время одного оборота. Так
как в одном обороте 2 радиан, то из (7. 8а) получим связь угловой скор ости с
пе риодом Т:
откуда:
. (7. 9)
Величина, обратная периоду Т, дает, очевидно, число оборотов в един и-
цу времени и называется частотой вращения:
. (7. 10)
Из (7. 9) и (7. 10) следует связь и:
(7. 11)
Для произвольного вращательного движения с переменным угловым уск о-
рен и ем (t) зависимость скорости от времени находи тся интегрированием
функции (t):
(7. 12)
Затем, интегрируя найденную функцию (t) (7. 12), можно найти завис и-
мость угла поворота от времени:
(7. 13) Задача нахождения зависимости углового ускорения от времени выходит
за рамки кинематики. Она решается в рамках динамики вращательного движ е-
ния.
Для равноускоренного вращения действуя так же, как и при
выводе формул (3. 6) и (3. 7), получим:
(7. 14)
(7. 15)
здесь – начальная угловая скорость;
– начальный угол поворота.
|
|
|
