 |
Ит оги лекции № 7. Динамика вращательного движения. Лекция № 8
|
|
|
|
ИТ ОГИ ЛЕКЦИИ № 7
1. При изучении вращательного движения используют модель абсолютно
твердого тела, позволяющую ввести различие между поступательным и вращ а-
тельным движением (§ 1).
2. Положение вращающегося тела определяется зависимостью от времени
одной пер еменной – угла поворота.
3. Бесконечно малому углу поворота d можно придать в соответствии с
правилом правого винта векторный характер – ввести псевдовектор бесконе чно
малого поворота
4. Угловая скорость (7. 1) вводится как производная по времени от угла
поворота. Направлен вектор так же, как и псевдовектор
.
5. Угловое ускорение (7. 2) вводится как производная угловой скорости
по времени:
.
Угловая скорость равна второй производной угла поворота по времени:
.
6. Линейная скорость v материальной точки твердого тела связана с его
угловой скоростью равенством (7. 3):
где R – расстояние от точки до оси вращения.
7. Для тангенциального и нормального ускорения материальной
точки твердого тела справедливы формулы (7. 5) и (7. 6):
8. При равномерном вращении угол поворота пропорционален времени
(7. 8а):
9. При равноускоренном вращении угловая скорость и угол поворота
KKKKKKKKKK. е дующим образом зависят от времени (7. 14) и (7. 15):
здесь – начальные значения угловой скорости и угла поворота.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ № 8
Момент силы и момент инерции
|
|
|
§ 1. Работа при вращательном движении. Момент силы
д 
и с к
Рис. 8. 1
На рис. 8. 1 приведен самый простой пример враще ния твердого тела при
действии внешней силы. Тело представляет собою диск, который может вр а-
щаться вокруг неподвижной оси Z, проходящей через его центр перпендик у-
лярно рисунку. Внешняя сила F направлена по касательной к диску (такую с и-
лу можно создать с п омощью нити, намотанной на диск).
Найдем работу dA, совершаемую силой F при повороте диска на угол
. В соответствии с (5. 4): dA = Fsds, у нас Fs равна F. Величину ds выразим
через d (см. рис. 8. 1), воспользовавшись определением ра дианной меры угла.
В результате п олучим:
dA = F ds = FRd zd,
итак:
dA = zd. (8. 1)
Здесь мы ввели новую величину z, являющуюся мерой внешнего возде й-
ствия при вращательном движении:
. (8. 2)
Величина z называется моментом силы F относительно оси вращения Z.
Формулу (8. 2) можно записать в векторном виде:
. (8. 3)
Векторное п роизведение векторов направлено вдоль оси вращ е-
ния Z в соответствии с правилом правого винта, введенным в § 3 лекции № 7.
При произвольном направлении внешней силы направление векторного пр о-
изведения может не совпадать с осью вращения. В этом случае вектор
M составляющая вектора, направленная вдоль
z определяется как
оси вращения. Отметим, что модуль вектора равен расстоянию от точки пр и-
|
|
|
ложе ния силы до оси вращения.
В механике вводят также понятие вектора момента силы относительно
произвольной точки О в соответствии со следующим определением:
, (8. 4)
здесь – вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы (радиус -
вектор).
Следовательно, момент силы относительно точки равен векторному прои з-
вед е нию радиус -вектора на вектор силы.
Можно показать, что если точка О расположена на оси вращения (в л ю-
бом месте этой оси), то момент силы относительно оси вращения Z б у-
дет р авен проекции вектора из (8. 4) на эту ось.
На рис. 8. 2 это иллюстрируется для
Z частного случая, когда сила = , т. е.
не имеет составляющих вдоль оси Z и
вектора (проекции моментов этих с о-
ставляющих на ось z равны нулю, поэтому
мы их не ра ссматриваем).
В соответствии с формулой (8. 4),
примененной для нашего случая, модуль
вектора – момента силы относител ьно
точки О:
.
Спроектируем вектор на ось Z,
Рис. 8. 2 тогда из рис. 8. 2 видно, что:
,
используя предыдущую формулу, пол учим:
.
В соответствии с правилом определения направления векторного произвед е-
ния (§ 3, лекция № 6), вектор перпендикулярен вектору значит, + = 90
и cos = sin, следовательно:
.
Но r sin = R, и мы получаем:
,
что совпадает с формулой (8. 2).
§ 2. Кинетическая энергия при вращательном движении.
Момент ине рции
Как уже отмечалось (см. лекцию № 7, § 4), абсолютно твердое тело можн о
рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями
между ними. Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как
сумму кинетических энергий (5. 8) всех материальных точек, составляющих
данное т ело. Скорости этих точек в соответствии с формулой (7. 3), связаны
с угловой скоростью и расстояниями от точек до оси вращения. Воспольз о-
вавшись этим, мы можем выразить кинетическую энергию вращающегося тела
|
|
|
через его угл овую скорость:
.
Рис. 8. 3
Введем новую величину, являющуюся мерой инертности при вращ а-
тельном движении:
. (8. 5)
Величина называется моментом инерции твердого тела , отн осительно
оси Z.
Таким образом:
. (8. 6)
Величину, стоящую под знаком суммы в формуле (8. 6) называют моме н-
том инерции материальной точки относительно оси z:
(8. 7)
Следовательно, момент инерции материальной точки равен произведению
массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси вращения.
Таким образом, момент инерции твердого тела равен сумме моментов
инерции всех материальны х точек, составляющих это тело:
(8. 8)
Как видно из формулы (8. 5), величина момента инерции материальной
точки может быть разной для материальных точек с одинаковым и массами
вследствие возможного различия расстояний от этих точек до оси вр а-
щения. Из формул (8. 5), (8. 7) и (8. 8) следует, что величина момента инерции
тве р дого тела зависит от распред еления масс в твердом теле и от положения
оси вр ащения.
При непрерывном распределении массы величина в формуле (8. 5) зам е-
няется на бесконечно малую массу dm, а сумма заменяется на интеграл, кот о-
рый берется по всему объему тела:
(8. 9)
При вычислении момента инерции величину dm выражают через пло т-
ность тела и бесконечно малый объем dV:
(8. 10)
Подставляя (8. 10) в (8. 9), получим формулу, решающую в общем виде з а-
|
|
|
дачу о нахождении момента инерции тела относительно заданной оси:
(8. 11) Теорема Штейнера
Для симметричных тел вычисления по формуле (8. 1 1) значительно упр о-
щаются, если ось вращения проходит через центр масс тела. Обозначим момент
инерции твердого тела относительно оси ОО, проходящей через центр масс, ч е-
рез (рис. 8. 4). Тогда для нахождения момента инерции относительн о прои з-
вольной оси , параллельной оси ОО и удаленной от нее на расстояние а,
можно во спользоваться теоремой Штейнера, которую иллюстрирует рис. 8. 2.
В соответствии с рис. 8. 2, теорему Штейнера запишем следующей форм у- лой:
, (8. 12)
где I момент инерции относительно оси OО;
0 –
I – момент инерции относительно оси OО;
а – расстояние между осями.
|
|
|
