A2.1. Дискретное управление модой в многомодовом волокне
Многомодовое волокно состоит из цилиндрического ядра с коэффициентом преломления n 1 и радиусом a и окружающей оболочки с более низким показателем преломления n 2< n 1 (Рисунок A2.1). Из-за граничных условий на поверхности ядро-оболочка существует ряд дискретных собственных решений общего уравнения переноса, которые направлены в
волокно. Эти собственные решения называются модами волокна, которое считается многомодовым. Они могут быть написаны:
(A2.1)
где x и у – поперечные пространственные координаты, а z является продольной пространственной координатой, соответствующей направлению распространения. В противоположность случаю плоской волны каждая мода имеет специфическое поперечное распределение поля
Для i -й моды часто используют эквивалентный показатель преломления
Моды электромагнитного поля обозначаются ТЕ для поперечной электрической или ТМ для поперечной магнитной, или EH и НЕ для гибридной электромагнитной, поскольку они имеют продольные компоненты Еz или Bz в дополнение к обычным поперечным компонентам (Ex, Ey) и (Bx, By) к ТЕ волнам на свободной поверхности: ТЕ моды имеют продольные магнитные компоненты, ТМ моды имеют продольные электрические компоненты, а EH и НЕ моды имеют продольные компоненты для обоих полей E и В. На практике разность показателей преломления
Основным интересом этого модального разложения является тот факт, что набор мод является ортонормальным базисом собственного ансамбля векторов всех возможных решений уравнения распространения. Этот ансамбль с математической точки зрения является линейным пространством скалярных произведений. Наиболее знакомым линейным пространством является геометрическое трехмерное пространство. Любой вектор U может быть разложен на ортонормальный базис собственных векторов (a1, a2, a3):
Ортонормальный базис является ортогональным; то есть, скалярное произведение двух различных собственных векторов равно нулю:
и это также нормально; то есть все квадраты скаляров собственных векторов равны:
Норма или амплитуда или модуль U вектора U определяется как квадратный корень из ее скалярного квадрата
Есть два важных результата, которые могут выглядеть очевидными, или по крайней мере, очень фамильярными в геометрическом пространстве, но которые являются чрезвычайно полезными в других линейных пространствах, для которых это не так просто: • Координата x является
• Квадрат модуля является
В частности, очень удобно считать, что ансамбль комплексных функций f (x), которые показывают площади как интегралы в линейном пространстве. Бесконечный интеграл
Это можно найти на ортонормированном базисе собственных функций (fi) этого линейного пространства, какой-либо функции f, соответственно разлагаемой на:
с и
Тот факт, что линейное пространство функций f имеет бесконечное измерение, не приводит к изменению общего характера приведенных выше результатов, и это определение скалярного произведения может быть применено до функции нескольких переменных с несколькими интегралами. Возвращаясь к волокну, ансамбль решений уравнения распространения является также линейным пространством, которое является суммой несветоводных решений и суммой световодных решений. Размерность ансамбля несветоводных решений бесконечна, но конечна размерность ансамбля световодных решений: она равна числу мод в волокне. Любое решение E уравнения распространение может быть разложено:
где e mi – нормализованные направляемые моды и e ri – ненаправляемые моды, которые излучают. Направляемые моды e mi (x, y, z, t) являются собственными векторами, и, следовательно, их обобщенные скалярные произведения
Координаты xi мод е mi поля E определяется обобщенным скалярным произведением:
аналогичные определения координат вектора в геометрии с
С частично перекрывающимися интегралами устранена зависимость (z, t):
Кроме того аналогично
С точки зрения физики это последнее уравнение показывает, что суммарная мощность волны E должно равняться сумме мощностей всех мод, как мы могли бы ожидать. Фактически квадрат электрического поля пропорционален интенсивности волны (т.е. пространственной плотности мощности) и бесконечный интеграл частичного перекрытия дает суммарную мощность, являющуюся плотностью мощности в поперечной плоскости xy. Это отношение применяется только к общей мощности мод. Проблема заключается в очень разных локальных плотностях мощности в ядре. Квадраты суммарных амплитуд этих мод и являются результатом интерференции между различными модами. В частности, имеются места без света в связи с деструктивной интерференцией. С большим количеством мод это дает пятнистый узор.
Заметим, что частично перекрывающиеся интегралы с использованием «обычного» скалярного произведения
A 2.2. Одномодовые волокна Расчет мод обычно осуществляется с нормализованной частотой V вместо угловой частоты ω. Это определяется с:
Это может быть написано:
где
Важным результатом является то, чтопри
то есть Волокно является одномодовым для Точное определение мод требует использования Бесселя и модифицированных Бесселевых функций, но основные моды можно аппроксимировать распределением по Гауссу, для амплитуд волн получим, (Рисунок A2.2):
![]() (A2.19)
где
Даже простое линейное приближение является обычно достаточно точным в пределах практического использования одномодового волокна (т.е., 1< λ/λ c <1,5):
Постоянная распространения β варьируется от k 2 для бесконечно длинных волн до k 1 для волн нулевой длины: • При очень больших длинах волн моды весьма широкие и "наблюдаются" главным образом в оболочке с ее показателем преломления n 2, • При очень коротких длинах волн моды ограничиваются в ядре и "наблюдаются" главным образом в ядре с его показателем преломления n 1. Постоянная нормализованного распространения b (V) часто используется с
В случае небольших разностей относительного показателя преломления мы можем написать:
Для
Затем на пределе одномодового режима
Обратите внимание, что зависимость длины волны от постоянной распространения b (λ) дает эффекты дисперсии благодаря направленному распространению в дополнение к собственной хроматической дисперсии материала. В частности модулированные сигналы распространяются с групповой скоростью:
с
Этот анализ был получен для волокна с совершенным ступенчатым профилем; тем не менее, с некоторых конкретных производственных процессов появилось некотороее постепенное изменение ступенчатого профиля. Оценка характеристик таких волокон, как правило, проводится с использованием волокон с эквивалентным ступенчатому профилем, который обеспечивает просто приближенные значения отсечки и диаметра моды. В частности, коэффициент параболического профиля максимального радиуса a max и максимальной относительной разности показателей преломления Δmax может быть аппроксимирована с эквивалентным ступенчатому профилем радиусом ae = 0,8 a max и относительной разностью показателей преломления Δ е =0,75Δmax (Рисунок А 2.5).
Теперь, когда волокно используется ниже его одномодовой отсечки, существуют моды более высокого порядка распространения. В частности, когда 0,63λ с <λ<λ c (т.е., 2,4< V <3,8) антисимметричная LP11 мода становится направляемой в дополнение к основной LP01 моде. Эта мода второго порядка имеет нечетное распределение применительно к одной поперечной координате. Амплитуда волны может быть приблизительно описана с помощью нормализованных производных гауссовской функции (Рисунок A2.6):
(A2.30)
Эта мода состоит из двух доль, амплитуда (или поле) которых имеет противоположные знаки (или различие по фазе на π рад). С другой стороны, интенсивность (или мощность), которая зависит от квадрата амплитуды (или поля), является идентичной и всегда положительно влияет на обе доли. Поле e s 0 максимально и равнo e 0 для x = w 1 и у =0. Значение w 1 является максимально полуширинными. Мода LP11 является вырожденной с точки зрения поляризации в качестве LP01 моды, но она также имеет пространственную вырожденность, поскольку доли может быть выровнены по любой поперечной оси (Рисунок A2.7).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|