A1.8. Дифракция и гауссовский пучок лучей
Дифракция является фундаментальным явлением, связанным с волновой природой распространения света и показывающим ограничение геометрической лучевой оптики. Невозможно изолировать один луч в оптической волне. При выборе маленького отверстия фильтрации света можно отметить его угловое расхождение со "средним" углом θ D, который увеличивается с уменьшением размера отверстия ah (Рисунок A1.20):
Дифракция может быть объяснена тем, что в соответствии с принципом Гюйгенса каждой точке отверстия испускаются сферические волны, и эти сферические волны совместно интерферируют. Амплитуда дифрагируемой волны в данный момент представляет сумму амплитуд всех этих интерферируемых волн.
Затем общая амплитуда дифракции Ad в направлении θ
где Af – амплитуды пространственно отфильтрованных волн. Следовательно, амплитуда дифракции Этот интерферометрический анализ дифракции можно объяснить простыми аргументами: в направлении угла такого, как
Поскольку многополевая дифракционная модель является пространственным преобразованием Фурье отфильтрованных амплитуд распределения, особый интерес представляет распределение Гаусса, потому что гауссовскя функция инвариантна к преобразованию Фурье. Особенно такие гауссовские лучи создаются в газовых лазерах. Гауссовские лучи, распространяемые вдоль оси 0 z, имеют узкие части (горловины) с распределением радиальных амплитуд (Рисунок A1.22):
и распределением интенсивности в соответствии с распределением площади амплитуд:
Член w 0, называемый горловиной, это радиус 1/ e по амплитуде и 1/ e 2 по интенсивности (и 2 w 0 – диаметр у 1/ e 2), следовательно
От горловины лучей свет дифрагирует, но сохраняет гауссовское распределение амплитуды:
с
Эта формула может быть упрощена в двух случаях: 1. 2.
Гауссовские лучи расходятся с полным углом θ D с интенсивностью 1/e2:
и он определяется
как указывалось выше, если учесть, что, В этом последнем случае свет дифрагирует с постоянным углом расхождения, и когда условие
A 1.9. Когеренция В случае идеальной плоской монохроматической волны, фаза волны дается точкой, которая может быть выведена из фазы любой другой точки: • фаза это несколько одинаковых точек на одном и том же фронте переноса поперечно к направлению распространения. Это идеальное "поперечное соотношение" называется пространственной когерентностью; • разность фаз На практике этот идеальный случай невозможен, и волна имеет ограниченную когерентность. Полная теории когерентности сложна и предполагает математический аппарат стохастических процессов. Тем не менее, мы будем анализировать проблемы временной когерентности, которые очень важны для интерферометрического волоконно-оптического гироскопа. С другой стороны, волоконный гироскоп использует одномодовый волновод, и пространственная когерентность обеспечивается автоматически, поскольку все точки моды идеально коррелированны по фазе в поперечном направлении. Когда источник посылает в интерферометр широкий спектр излучения, наблюдается хороший интерференционный контраст около нулевой разности хода, и так как эта разность увеличивается (в абсолютном значении), наблюдаемость интерференционных полос уменьшается и, наконец, полностью исчезает (Рисунок A1.23). Когда разность хода длиннее, чем данная длина корреляции, называемая длиной когерентности Lc от источника в оптике, обе интерферируемые волны больше не коррелируют, и разность их хода зависит от времени, которое осредняется по члену
Другим способом понять феномен является разложение широкого спектра на отдельные длины волн. Каждая длина волны λ i создает свой собственный интерференционный шаблон с периодом λ i. Около нулевой разности хода все интерференционные шаблоны совпадают; но как только разность хода увеличивается, их совпадение теряется, потому, что они имеют слегка разные периоды (Рисунок A1.24). Поскольку некоторые длины волн на ярких полосах, а другие из них находятся на темных полосах, в среднем, общая интенсивность становится постоянной и контраст исчезает. Длина когерентности Lc обратно пропорциональна ширине спектра Δλ.
Точный результат может быть получены строго с преобразованием Фурье. Рассмотрим волну с амплитудой A (t), которая изменяется как функция времени t в заданном пространстве. Как мы уже видели, компоненты частот a (f) этих амплитуд A (t) могут быть определены преобразованием Фурье:
и, наоборот, амплитуды волн A (t) является интегральными суммами всех компонентов их частот:
В целом, частоты компонентов a (f) являются сложными и могут быть написаны с положительными реальными модулями
Когда эта волна посылается в интерферометр двумя 50-50 (по интенсивности) пучками, имеется интерференция между волной A (t) с ее самой, но сдвинутой при временной задержке τ, A (t– τ). С учетом того, что свет распространяет в вакууме вдоль обоих путей, временная задержка τ связана с геометрической разностью хода Δ L:
Следуя сохранению энергии, каждый пучок разделителя 50-50 уменьшает интенсивность в 1/2 и амплитуду в
где скобки
Затем интенсивность I интерференции пропорциональна
Основная автокорреляционная теорема, также называется теоремой Винера-Хинхина, гласит: «если A (t) имеет преобразование Фурье a (f), то его автокорреляционная функция
и обратно
На практике спектральная плотность мощности
Затем
и (А1.134)
где Если спектр
где I in – интенсивности волны на входе. Интенсивность I интерференционной волны
И, наконец, возможно определить нормализованную по центру функцию автокорреляции:
где
С точки зрения пространственных координат существует
где разность хода Δ L = c τ и средняя длина волны Затем эффект широкого спектра дает наблюдаемость с уменьшением косинусоидальной модуляции интерференционных полос, с уменьшением
где
«Полуширина» функции
Когда по центру спектра интенсивность
так как
и
Затем время когеренции τ с это время, обеспечивающее (Рисунок A 1.26)
Обратите внимание, что полуширина 2σ (т.е. 2τ с) это полуширина на 1/ e, поскольку
Также можно определить ско полуширины интенсивности спектральной плотности
В случае когда
и
Когда
Этот результат получен именно для гауссовского спектра, но он по-прежнему приблизительно справедлив и для других фигур спектра. Длина когеренции Lc определяется
и поэтому
Как мы уже видели, время когерентности τ с и длина когерентности Lc соответствуют максимальной временной или пространственной задержке, которая сохраняет хорошую видимость интерференционных полос:
Как видно из анализа когерентного шума в волоконном гироскопе, время или длина, выше которой волна теряет свою когерентность, также представляет интерес. Хорошо определять это время "декогерентности"
Затем длина "декогерентности" Ldc
так как С переходом назад к простому случаю гауссовских функций установлено, что
и затем,
которое означает, что для τ dc (или Ldc) контраст был сокращен до 3%. Время когерентности τ с полуширинное на lσ и время "декогерентности" определяемое как 1/Δ fFWHM фактически полуширина от 3σ до 4σ (полуширина в l/ e будучи полуширинными на 2σ). Эти результаты, полученные именно для гауссовских функций, могут быть приблизительно продлены для любого «колоколообразного» спектра. Тем не менее, решая определенные паразитные эффекты в волоконном гироскопе, необходимо знать точно функцию полной когерентности источника, а не просто его половину ширины. Очень важным результатом анализа является тот факт, что функция автокорреляция и видимость интерференционных полос зависят от преобразования Фурье спектральной плотности мощности Это означает, что волны с теми же модулями α(f), но различными фазами ф(f) их частотных компонентов, дают ту же видимость интерференционных полос. В частности источник широкого спектра имеет частоты компонентов со случайными фазами, а импульсы амплитудной модуляция имеют частотные компоненты, которые имеют ту же фазу; но оба дают ту же видимость интерференционных полос, если у них есть та же мощность спектра α2(f). Зачастую временнáя когерентность источника широкого спектра объясняется поведением рассматриваемых волновых цугов, равных по продолжительности времени «декогеренции» τ dc и длиной, равной длине "декогеренции" Ldc. Они на самом деле изображают пульсации с чисто амплитудной модуляцией; но поскольку фаза теряется в автокорреляции, они дают тот же контраст интерференции, что и источник широкого спектра действия. Это позволяет анализировать просто эффект во времени, особенно, когда волновой цуг отправляется в несбалансированный интерферометр, есть два волновых цуга на выходе. Если дисбаланс хода Δ Lop больше, чем волновая последовательность длиной Ldc, две волновых последовательности на выходе не пересекаются и не могут интерферировать (Рисунок A1.27). Примечание: Эти результаты просты, если спектр симметричен, или даже центризован. Когда нет симметрии, как в случае с широкополосными источниками, используемыми в волоконном гироскопе (суперлюминесцентный диод или источник с редкоземельными легированными волокнами), анализ спектра является более сложным. Центральная спектральная плотность
(A1.155)
Средняя частота
где
![]()
с
и
с тех пор как функцию нечетную
По сравнению со случаем симметричного спектра, есть дополнительный термин Примечание: Этот анализ дает определение времени когеренции τ с (и времени декогеренции τ dс) которое характеризует спектра источника. Наблюдая этот эффект, интерферометр был использован в вакууме, где временная задержка τ связана просто с геометрической разностью хода Δ L между обоими путями интерферометра:
Пространственный эквивалентн временного количества τ с и τ dс может быть определен как длина когеренции Lc = с · τ с и длина декогеренции Ldc = с · τ dс, которые также характеризуют источник.
Теперь, когда свет распространяет в среде, результат более сложен из-за последствий дисперсии. Как мы видели в раздел А1.3, амплитуда A может быть разложена как произведение: • монохроматической волны с частотой, равной средней частоте • модулированного термина М, который распространяется с групповой скоростью Временно имеем
и, принимая во внимание пространственное распространение, имеем
Можно доказать, что автокорреляционная функция М является на самом деле обратным преобразованием Фурье по центру спектра α c:
Возвращаясь назад к концепции волновой последовательности, можно показать, что волновая последовательность синусоидальных волн, модулируемых по амплитуде с огибающей Mwt (t), автокорреляционная функция которой также равна Г c (t). Амплитуда волновой последовательности
Теперь следующая формула остается в силе, поскольку она была подготовлена только с временной координатой:
Тем не менее, когда свет распространяется в среде, простое соотношение Δ L =с·τ больше не является допустимым. Временная задержка τ уже не соответствует той же пространственной задержке для автокорреляционных составляющих γ ce и γ co и для "интерференционных полос" косинуса и синуса. Затем в интерферометре по одной траектории в среде 1 с геометрической длиной пути L 1 и по другой тректории в среде 2 геометрической длиной пути L 2 фактические временные задержки в обоих случаях отличаются. Это: · · Таким образом, в общем случае, интенсивность интерференции
На практике материальная дисперсия дает лишь небольшие различия между τ g и τф, но интерферометрические измерения очень чувствительны и это может привести к побочным эффектам. Например, в интерферометре Майкельсона эта проблема устраняется дополнительной компенсирующей пластинкой, отменяющей из эффект рассеивания материала и поддерживающая разделение 50-50. В волокне существуют некоторые случаи, когда τ g может очень отличаться от τф, как будет показано в приложении 2. A1.10. Двулучепреломление Как мы видели, в изотропной линейной диэлектрической среде, производная электрического поля D пропорциональна электрическому полю Е:
Газы, жидкости и аморфные твердые вещества подобные стеклу или кварцу, изотропны, поскольку их структура является случайной, и они не имеют какой-либо преобладающей оси ориентации. И наоборот, кристаллы имеют упорядоченную решетку с преобладанием осей, и их диэлектрическая проницаемость
Каждому значению ε ri соответствует значение показателя преломления Кристаллы можно разделить на три группы: • Кристаллы кубических систем, например, как алмаз, в котором nx = ny = nz. Они оптически изотропны и ведут себя как оптически аморфные стекла. • Однонаправленные кристаллы, которые имеют две обычные оси с nx = ny = n 0 и одну необычную ось с nz = ne ≠ n 0. Разность показателей преломления при двулучепреломлении заключается в Δ nb = ne – n 0. Двулучепреломление считается положительным, когда Δ nb > 0 (т.е. ne > n 0) и отрицательным, когда ne < n 0. Необычную z-ось часто называюс С -осью одноосного кристалла. • Биаксиальные кристаллы, которые имеют различные индексы для каждой оси: nx ≠ ny ≠ nz. Когда волна линейно поляризована вдоль главной оси, она распространяется с показателем преломления Распространение вдоль промежуточных направлений сложнее, но проблемы двулучепреломления, которые мы должны анализировать в волоконной оптике, просты, поскольку они связаны с распространением только вдоль одной основной оси. Главный эффект двулучепреломления заключается в том, чтобы изменить состояние поляризации во время распространения, когда волна не линейно поляризована вдоль основной оси. Рассмотрим плоскость двулучепреломления с x - и z -осями, параллельными поверхности раздела, и y-осью в направлении распространения (Рисунок A1.30). Входное состояние поляризации при прохождении через плоскость изменяется на выходе. На входе состояние Ein может быть разложено вдоль основных x - и z -осей на плоскости:
где ![]()
Разность фаз между обеими компонентами на выходе:
где d – толщина пластинки и Δ nb = nz – nx. Изменение состояния поляризации вдоль распространения через пластину периодическое. Разность фаз увеличивается линейно с толщиной d, и ввод состояния поляризации восстанавливается, когда накопленная разность фаз становится 2π рад. Пространственный период изменения называется пульсацией длины двулучепреломления Λ Особенно полезны два вида двулучепреломляющих пластин: • пластина в пол-волны, где d = m Λ + Λ/2 и • пластина в четверть волны, где d = m Λ + Λ/4 и Эта симметрия меняет направление вращения эллиптического или циркулярного состояния поляризации. Заметим, что, строго говоря, полуволновая пластинка не повернет состояние линейной поляризации, но симметризирует его относительно основных осей. Однако вращение полуволновой пластины поворачивает состоянии линейной поляризации, так же, как вращение зеркала поворачивает изображение. Эффект четверть-волновой пластины – в изменении эллиптического состояние поляризации. В частности, когда основные оси параллельны осям эллипса, получается линейная поляризация. Наоборот, линейная поляризация дает эллиптическую поляризацию, выровненную вдоль основных осей (Рисунок A1.32). В особом случае линейной поляризации в 45 град к основным осям получается круговая поляризация. Математически это линейное преобразование состояния поляризации является произведением матриц, известным как формализм Джонса. Состояние поляризации может быть представлено как 1× 2 столбец матрицы, и эффект пластины в умножения на квадратную матрицу 2×2. Разложение поляризации вдоль основных осей является на самом деле обычным математическим разложением по собственным осям матрицы 2×2, которая дает диагональную матрицу, с которой намного легче справиться. Эффект двулучепреломления пластины может быть записан, как
где столбцы матрицы [ E out] и [ E in] называются векторами Джонса:
|
|
|