3.3 Операторы в квантовой механике
3. 3 Операторы в квантовой механике
В квантовой механике, для каждой наблюдаемой величины частицы (импульса, энергии и т. д. ), должен быть задан оператор, переводящий волновую функцию состояния Ψ (r, t), в интересующую наблюдаемую величину. Примеры операторов: умножение на X, f(X), дифференцирование, интегрирование и т. д. Операторы в квантовой механике обозначаются соответствующей буквой с крышкой: Û, Ê, Â, Ĥ. Например:
Общее правило, позволяющее находить операторы различных физических величин, заключается в следующем: Формулы классической физики, описывающие связи между различными величинами, заменяются такими же формулами, связывающие операторы этих величин. Например, связь между квадратом импульса и квадратами его проекций определяется в классической механике как:
Соответствующий оператор квадрата импульса, имеет вид:
Или после преобразований получаем:
где Аналогичным образом находим оператор кинетической энергии Ḱ :
Оператор полной энергии частиц Ĥ – гамильтониан:
где U – потенциальная энергия частицы. В классической физике, если частица движется в потенциальном поле U(x), То ее полная энергия выражается формулой:
Чтобы получить волновой аналог этого соотношения необходимо заменить величины E, p2 и U соответствующими операторами и провести ряд нетривиальных преобразований. Так было открыто в 1926 году австрийским физиком Эрвином Шредингером фундаментальное уравнение квантовой механики – уравнение Шредингера.
3. 4. Уравнение Шредингера
Для частицы массой m, движущейся в поле с потенциальной энергией U(x, y, z, t) со скоростью v < < c, уравнение Шредингера имеет вид:
где: Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и закон Ньютона в классической механике. Причем, Ψ –функция должна быть: 1) Конечная, непрерывная, однозначная; 2) Иметь непрерывные производные по координатам; 3) Удовлетворять условию нормировки ∫ V | Ψ |2 dV = 1. Особую роль в квантовой механике играют стационарные состояния. К ним относится, в частности, случай когда внешнее потенциальное поле не зависит от времени. В этом случае искомую волновую функцию можно искать в виде:
Где:
Получим стационарное уравнение Шредингера. Для этого подставим решение (20), в исходное уравнение Шредингера (19). Получаем:
Где 3. 5. Стационарное уравнение Шредингера
Сокращая экспоненту в левой и правой частях уравнения (21) и умножая обе части на 2m/ħ 2, получаем запись стационарного уравнения Шредингера:
Решение этого уравнения имеет бесконечное множество решений, но с учетом условий, накладываемых на -функцию (регулярная, непрерывны первые производные, т. е. на Собственные функции существуют лишь при определенных значениях полной энергии Е, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений Е образуют энергетический спектр частицы. Если потенциальная энергия U – монотонная функция и U→ 0 на бесконечности, то в области E< 0 собственные значения энергии образуют дискретный спектр. Отыскание собственных значений энергии E и собственных -функций составляет основную задачу квантовой механики.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|