3.6. Решение уравнения Шредингера в случае движения свободной частицы вдоль оси X
3. 6. Решение уравнения Шредингера в случае движения свободной частицы вдоль оси X
Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:
(Где: Или:
Уравнение (24) – это обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Базисные функции пространства решений этого уравнения есть: exp(λ 1x) и exp(λ 2x), где λ 1 и λ 2 - корни следующего характеристического уравнения:
равные: λ 1 =0+i k, λ 2 =0-i k. Общее решение уравнения (24) есть линейная комбинация базисных функций, т. е.: Ψ (x) = A exp(0+i k) + B exp(0-i k). Или с учетом ограничений физического смысла функции Ψ (x) имеем: Ψ (x) = A exp(ikx) (26) Общее решение уравнения с учетом временной зависимости Ψ (x, t), будет:
Или используя формулу Эйлера:
Получаем:
Мы ввели обозначение k2 = 2mE/ ħ 2 . Отсюда получаем:
Т. е. энергетический спектр частицы непрерывный. Рассмотрим вероятность | Ψ |2 нахождения частицы в пространстве: |Ψ |2=Ψ Ψ * = A exp(-i (ω t – kx)) A exp(i (ω t – kx)) =A2= const, (30) т. е. вероятность найти частицу во всем объеме одинакова. 3. 7. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
Частица движется вдоль оси x. Энергия отсчитывается от дна ямы. Яма описывается потенциальной энергией:
Уравнение Шредингера для стационарного состояния в одномерном случае: Из граничных условий следует: 1. Бесконечно высокие стенки → частица не проникает за пределы ямы → 2. На границе ямы 3. В яме (где Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора:
Общее решение дифференциального уравнения: Условие на границе:
т. е. уравнение Шредингера удовлетворяется только при собственных значениях Т. о. n – главное квантовое число определяет энергию уровня.
Собственным функциям 3. 7. 1. Энергетический интервал между двумя соседними уровнями
3. 7. 2. Влияние размера ямы l Свободный электрон в металле, размер ямы Размер ямы соизмерим с атомом 3. 7. 3. Влияние главного квантового числа n
Все остальные уровни Контрольное задание 1. Оценить значения первых двух энергетических уровней электрона в потенциальной яме размером 1 Ǻ с бесконечно высокими стенками.
Масса электрона составляет 9, 1 10-31 кг.
Контрольное задание 2. Имеется проводник со свободной квантовой частицей (электроном) длиной X. Найти вероятность P нахождения частицы (электрона) на отрезке [0; Δ x].
Глава 4. ДВИЖЕНИЕ НАНОЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 4. 1. Осцилляции частиц в параболическом внешнем поле Этот случай интересен для описания осцилляций молекул во внешнем параболическом поле (яме). Пусть параболическая форма внешнего поля
Или, для молекулы, с массой m и частотой собственных колебаний
Тогда, уравнение Шредингера приобретает вид:
Аналитическое решение уравнения (3) (собственные функции), находят в виде степенного ряда. Соответствующий спектр энергий
Отметим, что энергетические уровни
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|