 |
4.2. Прохождение частицы через потенциальный барьер
|
|
|
|
4. 2. Прохождение частицы через потенциальный барьер
4. 2. 1. Туннелирование
В этом случае, внешний потенциал 
, имеет вид:
(6)
Если обозначить области до барьера, в барьере и после барьера, соответственно, I, II и III, то в областях I и III, уравнение Шредингера примет вид 
(7)
а в области II 
(8)
В каждой из областей, решение уравнения Шредингера имеет вид:
(9)
Постановка этого решения (8), в исходное уравнение (7), для областей I и III, дает связь волнового числа K, с общей энергией частицы E:
(10)
Или
(11)
В последнем соотношении, знак «+» соответствует волне, идущей слева направо, а знак «-» - волне, идущей справа налево. Таким образом, получаем следующее решение уравнения Шредингера, в областях I и III:
(12)
Соответственно, подстановка общего решения (9), в уравнение Шредингера, для II области (уравнение (8)), приводит к следующему характеристическому уравнению для 
(13)
Или
(14)
Таким образом, после подстановки 
, в общее решение уравнения Шредингера (9), для области II, решение является суммой убывающей и возрастающей экспонент:
(15)
где:
(16)
В области III, волна идет слева направо, и граничное условие при 
(граничное условие Зоммерфельда, определяющее единственность решения), требует, чтобы 
равнялось 0, в решении 
Условия сшивки решений на границе барьера имеют вид:
(17)
, (производные) (18)
(19)
(производные) (20)
Таким образом, имеем 4 условия сшивки, и 5 неизвестных коэффициентов 
Один коэффициент получается произвольным, в силу однородности уравнения Шредингера.
Тогда положим, коэффициент 
Получаем после подстановки решений 
, в соотношения (17) - (20), следующее:
(21)
(22)
(23)
|
|
|
(24)
Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны:
(25)
есть коэффициент отражения, и определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера.
Отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны:
(26)
Определяет вероятность прохождения частицы через барьер.
С учетом системы уравнений (21) – (24), получаем:
(27)
Из последнего соотношения видно, что вероятность прохождения барьера сильно повышается с уменьшением ширины барьера a, и уменьшением 
.
Эксоненциальная зависимость квеличения вероятности туннелирования (прохождения) частицей потенциального барьера, с уменьшением ширины барьера, использована при создании сканируюшего туннельного микроскопа, где атомно-острая игла размещается на наномеровом расстоянии от поверхности проводника, что значительно увеличивает ток туннелирования через барьер игла-проводник. В этом случае, расстояние от иглы до образца играет роль ширины барьера, и при a = 0, 5 нм, высоте барьера 
= 4 эв, создается заметный поток туннелирующих электронов, от образца к игле 
4. 3. Электрон в периодическом силовом поле. Кристаллы
Рассмотрим задачу описания состояния электрона во внешнем периодическом поле. Такое поле возникает, в частности, в кристаллах.
Уравнение Шредингера, в этом случае, записывается, как:
(28)
Со следующими граничными условиями периодической решетки:
(29)
(30)
(31)
Исследованиями доказано, что решение уравнения Шредингера с периодическим потенциалом U, имеет вид:
(32)
Где 
имеет период потенциала решетки.
Рассмотрим частный случай (модель Кронига-Пенни), допускающий аналитическое решение. Пусть потенциал U аппроксимируется периодически повторяющимися прямоугольной ямой, шириной а, и прямоугольным барьером, шириной b.
На рисунке изображен потенциал ядер в кристалле и аппроксимирующий потенциал.
|
|
|
Для потенциальной ямы, решение уравнения Шредингера, для n-го участка, имеет вид:
, (33)
а для потенциального барьера:
(34)
|
|
|
