Представление передаточной функции с помощью весовых множителей.

Известно, что реакция системы (зве­на) на воздействие типа дельта-функции называется импульсной переходной функцией, или функцией веса. Поэтому реакция формирующего элемента на дельта-функцию есть его функция веса Она должна быть тождественной форме реального импульса на выходе имульсного элемента при единичном входном сигнале. Значит, форма импульса на выходе реального импульсного эле­мента S (f) представляет собой функцию веса формирующего элемента ш>ф (f). Передаточная функция формирующего элемента является изображением в смысле Лапласа от функции веса w$ (t):

Рис. 178. Схема простейшего импульсного элемента как модулятора б-функций

Wф{р)—-L[W${t)\.

	. 6ТШ
Bit)	Модулятор	£*Ш
1 1	дТШ
-4Т-ЗТ-2Т-Т 0 1 П 37 41 t

элемента как модулятора б-функций

 

54. Прохождение сигналов в импульсных системах при различных формирующих элементах.

В качестве примера определим передаточную функцию формирующего элемента, на выходе которого импульсы должны иметь прямоугольную форму, а их длительность равна уТ (рис. 177). Функция веса №ф(^ формирующего элемента в данном случае представляет собой прямоугольный импульс (рис. 180). Ее можно представить как сумму двух сдвинутых во времени на уТ и имеющих различные знаки ступенчатых функций:ных схемах

w*{t) = l(t) — l{t—yT).

Следовательно, искомая передаточная функция формирующего элемента

t_p==1^JL?H. 185)

?Ф (Р) = I [о>_ф (0J = -у ~

Для прямоугольного импульса, который имеет длительность, равную пе­риоду дискретности Т, передаточная функция определяется из формулы (185) при у = 1:

Щ(Р)= ¹~^е~^ГР • (186)

Обычно коэффициент усиления импульсного элемента относят к формирующему элементу, считая, что коэффициент простейшего импульсного элемента равен единице. Тогда в формулах (185) и (186) появляется сомножитель k_H.

Формирующий элемент, передаточная функция которого определяется выражением (186), называют фиксатором. Реакция фиксатора е_ф (f) на модулированную последовательность кратковременных импульсов (б-функций) е* показана на рис. 181. Как видно из рисунка, фиксатор запоминает величину площади каждого кратковременного импульса на период дискретности Т, т. е. до прихода следующего импульса.

Во многих практических случаях на выходах реальных импульсных эле­ментов перед непрерывной частью системы применяют фиксаторы (рис. 174, б). Фиксатор, по существу, является преобразователем дискретных данных в непре­рывные, так как он позволяет приближенно решить задачу преобразования импульсного сигнала е* (f) в непрерывный сигнал е_ф (/).

Структурная схема импульсного элемента с фиксатором отображает дина­мические свойства особой части импульсной автоматической системы с учетом коэффициента усиления k_w и периода повторения импульсов Т (рис. 182).

Структурная схема импульсной системы с единичной обратной связью изо­бражена на рис. 183. Она построена в соответствии с рис. 174, б и 182. Формирую­щий элемент и непрерывная часть системы соединены последовательно и обра­зуют приведенную непрерывную часть системы ПНЧ с передаточной функцией

 

где Е* (р) — изображение сигнала s,*(t) в смысле дискретного преобразо­вания Лапласа.

Упрощенная структурная схема импульсно-непрерывной системы, вклю­чающая сумматор, простейший импульсный элемент, ПНЧ и обратную связь, полностью отображает динамические свойства импульсной автоматической системы (рис. 184). Трудности практического порядка заключаются в том, что в системе есть дискретные и непрерывные сигналы, а передаточная функция W (р), как видно из формул (185) и (186), является дискретно-непрерывной функцией аргумента р. Таблицы дискретно-непрерывного преобразования Лапласа пока не созданы. В связи с этим на практике широкое применение получил математический аппарат дискретного преобразования Лапласа и одна из его разновидностей — г-преобразование.

Переход к дискретному преобразованию Лапласа применительно к рис. 184 означает, что мы будем находить реакцию на выходе системы не в виде непре­рывной функции л:_выч (t), а в виде дискретной функции л:_Вых (I). Затем, в случае необходимости, с помощью модифицированного преобразования можно найти и функцию х_вых (/).

 

 

55. Условия устойчивости на -плоскости и при использовании -преобразования.

Необходимым условием работоспособности импульсной системы является ее устойчивость. Известные из предыдущих бесед основные определения устойчи­вости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но с учетом ряда особенностей этих систем.

Обратимся к основной формулировке условия устойчивости: импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.

Как уже отмечалось, на практике часто ограничиваются определением ди­скретной функции х_вых (пТ) на выходе системы. Это решение можно получить, например, из формулы (194) в виде суммы свободной и вынужденной составля­ющих:

Хвых (пТ) = х_с {пТ) 4- х_в (пТ).

Таким образом, условие устойчивости системы следует записать так:

Vim х_с{пТ) = 0.

Оценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычно производят на основании исследования характеристического уравнения замкну­той системы, получаемого из формулы (194):

(199)

Это алгебраическое уравнение имеет m корней г_; на плоскости г. Однако, по­скольку переменная z появилась в связи с подстановкой г = еР^т, то каждый корень z_t связан с корнями p_i на плоскости р зависимостью г_с = е^р'⁽. Легко заметить, что нулевому корню, например р_г = 0, соответствует корень г_г = 1, а корням р_с с отрицательными вещественными частями соответствуют корни

\Ч\< 1.

Теперь можно дать формулировку математического условия устойчи­вости: импульсная автоматическая система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения (199) лежат внутри круга единичного ради­уса, построенного в начале координат комплексной плоскости z (рис. 188, точки гх, г2, 23, z4, г5). Если хотя бы один из корней лежит на окружнос­ти с радиусом R = 1, то система на­ходится на границе устойчивости (рис. 188, точка ze). При наличии ко­рней | 2; | > 1 система неустойчива (рис. 188, точка z7).

Определение корней характери­стического уравнения (199) при т >• 3 сопряжено с известными трудностями. Рис. 188. Комплексная плоскость г.

Поэтому на практике находят применение косвенные оценки — критерии ка­чества, позволяющие оценивать устойчивость импульсных систем без опреде­ления корней.

К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчи­вости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходимо произ­вести билинейное преобразование полинома М (z) в полином М (w) по формуле

Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскости г (рис. 188) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области устой­чивости непрерывных систем на плоскости р. К характеристическому уравнению М (w) = 0, которое также имеет порядок т, применимы алгебраические крите­рии устойчивости И. А. Вышнеградского и Гурвица.

Оценим устойчивость двух конкретных систем.

Пример 9. Импульсная система первого порядка имеет характеристическое уравнение

М (г) = с_хг + с₀ = 0.

После подстановки (200) получим

или

(с_г — с₀) w + (с_г + с„) = 0.

Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристи­ческого уравнения положительны:

^ci — ^со > °: с_х + с₀ > 0.

Исследуем устойчивость импульсной системы с передаточной функцией (197) (рис. 187). Характеристические уравнения этой системы

М (г) = z + (k₀T — 1); М (w) = w (2 — k_aT) + k₀T = 0. Отсюда получаем два условия устойчивости:

kj >0; Л„Т<2.

Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем: устойчивость импульсной системы зависит не только от общего коэффициента передачи в разомкнутом состоянии k_v, как это имеет место и в непрерывных системах, но и от периода дискретности Т: чем больше Т, тем труднее обеспе­чить устойчивость системы при неизменном k_v.

Пример 10. Характеристическое уравнение импульсной системы второго порядка

М (z) = с₂г^г + с_хг + с₀ = 0.

После перехода к переменной w получаем

М (ш) = (с₂ — с_г + со) w² + (2с₂ — 2c_a)w + (с, + c_t + с_в) =0.

Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:

^сг — ^ci + ^со > °". ^са — ^со > °; ^С2 + ^ci + ^со > °-

Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость импульсной системы. Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядков производят с помощью критерия Гурвица.

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: