 |
Особенности описания нелинейных элементов.
|
|
|
|
При расчетах нелинейных цепей чаще всего пользуются аналитическим представлением характеристик нелинейных элементов. В большинстве случаев основой для такого представления являются экспериментально полученные данные. Поэтому задача получения аналитического описания характеристики элемента сводится к аппроксимации соответствующей зависимости, представленной в табличной форме. Выбор аппроксимирующей функции определяется как характером нелинейности, так и используемым расчетным методом, а также диапазоном изменения расчетных величин. Например, при анализе нелинейной электронной цепи в малосигнальном режиме характеристики нелинейных элементов линеаризуются в окрестности рабочей точки. Это приводит к расчету линейной цепи, в которой нелинейные элементы заменены их дифференциальными параметрами в рабочей точке.
При аппроксимации характеристик нелинейных элементов f = f (x) всех видов чаще всего используют полиномы f = k 1 + k 2 x + k 3 x 2 +..., степенные функции f = kx , экспоненты f = k 1 e x + k 2 или другие простейшие трансцендентные функции, характер которых отвечает виду аппроксимируемой зависимости.
Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, рассматриваемыми в курсе численного анализа.
При необходимости охвата широкого диапазона изменения переменных используют различные аппроксимирующие выражения на отдельных интервалах изменения переменных. Из них наиболее распространена кусочно-линейная аппроксимация, при которой в каждом отдельном интервале аргумента (xk, xk +1) функция аппроксимируется линейным отрезком
|
|
|
,
где fk и fk +1 — значения аппроксимируемой функции на границах интервала, fk = fk +1 – fk, xk = xk +1 – xk.
Более точной является аппроксимация характеристик сплайнами — кусочная аппроксимация с помощью кубических парабол на отдельных интервалах (xk, xk +1). Их параметры выбирают из условий непрерывности функций f (x), их первых и вторых производных в граничных точках интервалов xk.
Для реализации перечисленных методов — среднеквадратичного приближения, кусочно-линейной и сплайновой аппроксимации — имеются специальные вычислительные программы. Их целесообразно применять при высоких требованиях к точности расчета нелинейной цепи. Если целью расчета является лишь получение качественных оценок, то можно использовать более простую и более грубую аппроксимацию. Иногда подобный путь позволяет получить аналитическое решение нелинейной задачи. Предельное упрощение достигается при условной линеаризации нелинейного элемента — линеаризации нелинейных членов уравнений цепи, мало влияющих на ход процесса.
Многообразие установившихся вынужденных и автономных режимов.
Метод фазовой плоскости.
Метод фазовых траекторий представляет собой графо-аналитический способ исследования нелинейных систем. Сущность метода заключается в описании поведения систем при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов.
Свободное движение нелинейной динамической системы управления с одной управляемой величиной 
в общем случае можно описать с помощью 
дифференциальных уравнений первого порядка:
 ,
| (8.2) |
где 
– фазовые переменные состояния.
Мгновенное состояние системы и ее дальнейшее поведение однозначно определены, если в данный момент времени 
известны значения всех 
переменных 
. Эти значения можно рассматривать как координаты точки 
в 
-мерном пространстве, которое называется фазовым пространством.
|
|
|
Точку с координатами 
называют изображающей точкой, а линию, по которой она перемещается при изменении состояния системы – фазовой траекторией.
Конкретной группе начальных условий 
соответствует единственное решение системы (8.2) – определенная совокупность искомых функций времени 
. Поэтому каждой группе начальных условий соответствует только одна начальная точка и единственная фазовая траектория, а множеству групп начальных условий соответствует семейство траекторий, которое называется фазовым портретом системы.
Метод фазового пространства наиболее удобен для анализа систем второго порядка, так как фазовые траектории располагаются в одной плоскости – в фазовой плоскости переменных 
и 
. Фазовый портрет этих систем можно построить непосредственно по дифференциальному уравнению, не решая его.
Пусть описание системы представлено в виде системы двух уравнений первого порядка:
| (8.3) |
где 
– отклонение выходной величины или сигнала ошибки от установившегося значения.
Если в качестве второй переменной состояния 
принята производная переменной 
, т.е. 
, то всегда функция 
.
Разделив второе уравнение системы (8.3) на первое, можно получить уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме:
 ,
| (8.4) |
в котором независимой переменной является величина 
(не время 
!), а зависимой – 
.
Разделяя далее переменные 
и 
и интегрируя уравнение (8.4), получаем уравнение фазовых траекторий в явном виде:
 ,
| (8.5) |
где 
– постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.
Рассмотрим характерные фазовые траектории (рис. 8.4, б, г, е) системы второго порядка, соответствующие затухающему, расходящемуся и незатухающему колебательным процессам (рис. 8.4, а, в, д).
  Рис. 8.4. Переходные процессы и фазовые траектории нелинейной системы
|
Моменты времени 
, когда кривые 
достигают своих максимумов и минимумов, соответствуют пересечению фазовыми траекториями 
, а моменты прохождения кривыми 
через нуль 
– пересечению оси 
.
Самые важные для анализа нелинейных систем свойства фазовых траекторий заключаются в следующем:
Неустойчивому процессу соответствует фазовая траектория, удаляющаяся от начала координат.
Периодическому процессу соответствует замкнутая фазовая траектория, называемая предельным циклом.
|
|
|
Фазовый портрет нелинейной системы, обладающей кусочно-линейной или разрывной характеристикой, состоит из нескольких областей с различными фазовыми траекториями. Линии, отделяющие на плоскости одну область от другой, называются линиями переключения.
В точках пересечения фазовыми траекториями линий переключения происходит излом траекторий. Это происходит из-за смены правой части уравнения (8.4).
|
|
|
