 |
I. Множественная регрессия
|
|
|
|
УДК 330.43
ББК 65с631
| ISBN 978-985-540-137-8 | Ó Учреждение образования «Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации», 2014 |
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дисциплина «Эконометрика (продвинутый уровень)» изучает методики построения обобщенных линейных моделей множественной регрессии, эконометрических моделей на основе стационарных и нестационарных временных рядов, проведения эконометрического анализа, состоящего в диагностике моделей, а также методику разработки прогнозов, основанных на эконометрических моделях.
Цель учебной дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень)» заключается в расширении и углублении знаний, умений и навыков магистрантов в области специфических методов эконометрического анализа экономических явлений и процессов, построения
и практического использования эконометрических моделей по реальным данным с помощью стандартного эконометрического программного обеспечения.
Магистрант по окончании изучения учебной дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень)» должен обладать следующими академическими компетенциями:
· понимать методологию анализа временных рядов и прогнозирования;
· знать возможности и особенности применения современных информационных технологий, предназначенных для решения эконометрических задач.
Магистрант по окончании изучения учебной дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень)» должен иметь следующие социально-личностные компетенции:
· обладать способностью организовать свою работу в соответствии с принципами научной организации труда;
· приобщаться к достижениям мировой науки;
· адаптировать приобретенные знания, умения и навыки к решению практических задач, связанных с проведением экономических реформ и структурных преобразований в социальной жизни общества.
|
|
|
Магистрант по окончании изучения учебной дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень)» должен обладать следующими профессиональными компетенциями:
· строить различные виды эконометрических моделей на основе временных рядов;
· проверять статистическую адекватность построенной модели на основе статистических тестов и тестовых статистик;
· оценивать прогностическую способность построенных моделей;
· давать экономическую интерпретацию полученных на основе моделей результатов анализа и прогнозирования;
· быть способным использовать информационные и коммуникационные технологии для эффективного решения эконометрических задач.
В результате изучения учебной дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень)» студент должен знать:
· понятие обобщенной линейной модели множественной регрессии;
· обобщенный метод наименьших квадратов;
· основные модели и методы анализа временных рядов;
· методы моделирования стационарных временных рядов;
· методы моделирования нестационарных временных рядов;
· методы построения и использования систем одновременных уравнений.
Студент должен уметь:
· строить и анализировать обобщенную модель множественной регрессии;
· определять компоненты временного ряда;
· проверять наличие тренда временного ряда;
· находить тренд;
· моделировать сезонные и циклические колебания;
· осуществлять сглаживание и аналитическое выравнивание временных рядов;
· строить и идентифицировать системы одновременных уравнений;
· оценивать параметры систем одновременных уравнений;
· использовать пакеты прикладных программ для решения эконометрических задач (MS Excel, Statistica, SPSS, Eviews).
Изучение дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень)» предполагает наличие знаний по теории вероятностей и математической статистике, базовому уровню эконометрики, экономической теории и макроэкономическому анализу.
|
|
|
Контроль знаний осуществляется с помощью проведения контрольных работ и тестов с применением персональных компьютеров и соответствующего программного обеспечения.
Постоянно усложняющиеся экономические процессы требуют
повышения уровня образования современных специалистов по экономике и управлению. Изучение дисциплины «Эконометрика (продвинутый уровень» позволяет использовать моделирование и количественный анализ в экономических исследованиях. Специалист экономического профиля для решения поставленных задач должен владеть научными основами исследования социально-экономических систем, анализа исходных данных, формализации, прогнозирования и принятия оптимальных управленческих решений, используя для этой цели современные технические средства.
Пособие «Эконометрика (продвинутый уровень)» предназначено для магистрантов для выполнения аудиторной и самостоятельной работы.
В пособии рассмотрены основные эконометрические вопросы, связанные со следующим:
· построением классических линейных регрессионных моделей;
· анализом структуры временных рядов и изучением взаимосвязей между ними;
· рассмотрением основных ошибок, возникающих при нарушении классических модельных предположений, методикой их диагностики и устранения;
· изучением эконометрических моделей, выраженных системой одновременных уравнений.
Эконометрическое моделирование предполагает получение модели и ее анализ на качество по определенным статистическим параметрам, которые необходимо найти, используя знания математической статистики. Поэтому вначале предлагается выполнить вычисления параметров с помощью приложения MS Excel, описанные в разделе по технологии вычислений в MS Excel, а затем провести дальнейший анализ построения и оценки модели с помощью полученных значений параметров. Такой подход при построении занятия позволяет, с одной стороны, вспомнить сведения из математической статистики и применить их для решения конкретной задачи эконометрического моделирования на этапе расчетов, с другой стороны, на этапе анализа акцентировать внимание на необходимость выполнения определенных статистических условий, не отвлекаясь на выполнение вычислений.
|
|
|
По каждой теме в пособии предлагается технология вычислений, анализ по полученным параметрам соответствующей модели, вопросы для самоконтроля, индивидуальные задания. Поскольку этапы эконометрического моделирования справедливы для любой модели, то в темах 1–4 в разделах по технологии вычислений и анализу модели используется одинаковая нумерация этих этапов.
В разделе по выполнению эконометрического анализа построения модели для каждого этапа эконометрического моделирования приводится соответствующий теоретический материал, который позволяет организовать обсуждение проблемных ситуаций, улучшить организацию самостоятельной работы, ответить на вопросы для самоконтроля.
Индивидуальные задания позволяют организовать самостоятельную работу магистрантов.
ВВЕДЕНИЕ В ЭКОНОМЕТРИКУ
Экономические исследования требуют от экономистов умений применять экономико-математические методы, создавать эконометрические модели, основываясь на знании экономической теории, экономической статистики, математического моделирования, теории вероятностей, математической статистики, для понимания количествен-
ных взаимосвязей между экономическими факторами в целях анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.
Экономическая теория с помощью качественного анализа устанавливает совокупность факторов и показателей, влияющих на изучаемое экономическое явление, их роль и теоретические взаимосвязи. Экономическая статистика обеспечивает информационную базу экономических исследований, осуществляя первичную обработку эмпирических значений выбранных экономических показателей. Экономическая статистика, как правило, ограничивается простейшими качественными выводами. Математическая статистика обеспечивает инстру-
ментом работы со случайными величинами. Математическое моделирование формализует рассматриваемую экономическую задачу на языке математики. Эконометрика оценивает количественные взаимосвязи изучаемых факторов и использует эти оценки для прогнозирования экономических процессов.
|
|
|
Одной из основных задач эконометрики является построение и анализ эконометрической модели. При этом под эконометрической моделью понимается такая форма представления исследуемой экономической задачи с помощью математических терминов и соотношений на основе статистических данных, которая удобна для проведения количественного анализа.
Существуют различные классификации эконометрических моделей. Например, одна из них выделяет типы эконометрических моделей по фактору времени (статические и динамические, т. е. модели временных рядов). Первые из них исследуют состояние системы в определенный момент времени, т. е. опираются на единовременный срез
информации по изучаемым объектам. Вторые строятся по данным, характеризующим изучаемые объекты за ряд последовательных периодов времени, т. е. они используют не только текущие значения показателей, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также
и само время t.
В зависимости от формы математического представления эконометрические модели подразделяют на модели с одним уравнением
и модели системы одновременных уравнений.
В первом случае объясняемый фактор y выражается через объясняющие переменные 
с помощью одного уравнения, в котором каждому конкретному набору () объясняющих факторов соответствует некоторое вероятностное значение зависимой переменной y, выраженное математическим ожиданием М ( у 
Такая зависимость называется корреляционной. При этом модель называется парной, если уравнение связывает только две переменные х, у и описывается уравнением парной регрессии вида М ( у 
= f (x). Если же речь идет о зависимости величины y от нескольких факторов 
(
), то модель с одним уравнением М ( у 
= f () называется множественной моделью. В зависимости от вида функции эконометрические модели разделяются на линейные и нелинейные.
Модели системы эконометрических уравнений используются при изучении достаточно сложных экономических явлений взаимосвязи между исследуемыми показателями, которые описываются не одним, а несколькими уравнениями (например, модель равновесия спроса
и предложения в рыночной экономике).
Выделяют следующие этапы решения эконометрической задачи:
· Постановочный этап, предполагающий определение целей и задач исследования; выделение факторов и показателей, определяющих изучаемые экономические процессы; установление на базе экономической теории роли выбранных показателей.
|
|
|
· Этап спецификации, во время которого выбирается формула связи между переменными, обозначающими выделенные факторы. Эта формула имеет общий вид и содержит параметры (коэффициенты при переменных), требующие статистической оценки.
· Этап параметризации, решающий задачу оценки значений параметров выбранной функции связи.
· Этап верификации, предполагающий проверку адекватности модели, т. е. проверку соответствия модели реальному экономическому явлению или процессу. Кроме того, на данном этапе выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации и параметризации, совершенствуется форма модели, уточняется состав объясняющих переменных, устанавливается точность расчетов по данной модели, определяются общее качество уравнения, статистическая значимость найденных параметров, а также разрешаются многие другие вопросы, определяющие надежность выводов по модели.
Реальное значение зависимой переменной y не совпадает с условным математическим ожиданием М ( у 
и отличается от
него на некоторое значение ε, которое носит случайный характер,
т. е. у = М ( у 
Таким образом, величина y разбивается на две части: одна из них (объясняемая) задает ту часть y, которая объясняется факторами 
вторая часть ε является случайной величиной и определяет влияние на y неучтенных уравнением М ( у =
= f () других факторов.
Уравнение y = f () + e называется регрессионной моделью (или уравнением регрессионной модели).
Общая задача эконометрического моделирования заключается в следующем: по имеющимся данным n наблюдений за изменением признака y в зависимости от наборов значений факторов выбрать эконометрическую модель y = f () + e, оценить ее параметры и статистически обосновать, что факторы существенны, а построенная функция f () такова, что наиболее точно соответствует данным наблюдений.
I. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
Постановка задачи
Исследуйте зависимость фактора у от факторов х 1 и х 2, используя данные наблюдений, приведенные в таблице 1. Постройте регрессионную модель 
Рассчитайте значение показателя у при х 1 = 35 и х 2 = 10.
Таблица 1 – Данные наблюдений
| Фактор | ||
| y | х 1 | х 2 |
| 684,48 | ||
| 674,45 | ||
| 729,62 | ||
| 748,86 | ||
| 761,44 | ||
| 773,42 | ||
| 628,07 | ||
| 731,84 | ||
| 698,81 | ||
| 645,92 | ||
| 664,64 | ||
| 711,18 | ||
| 798,07 | ||
| 833,82 | ||
| 667,97 | ||
| 607,61 | ||
| 711,76 | ||
| 728,62 | ||
| 666,15 | ||
| 683,70 |
Технология вычислений в MS Excel для построения
и анализа линейной множественной регрессии
1. Постановочный этап: определение целей и задач исследования; выделение факторов и показателей, определяющих изучаемые экономические процессы; установление роли выбранных показателей (дано в условии задачи или определяется исходя из экономической теории); подготовка данных для расчетов
Подготовьте данные для расчетов (введите исходные данные, представленные в таблице 1). В ячейку А1 введите название первого столбца – «Фактор y», в ячейку В1 – название второго столбца – «Фактор х 1», в ячейку C1 – название третьего столбца – «Фактор х 2». В ячейки А2, А3,…, А21 введите данные первого столбца таблицы 1, в ячейки В2, В3,…, В21 – данные второго столбца, в ячейки C2, C3,…, С21 – данные третьего столбца этой таблицы.
Введите новое название листа «Исходные данные» и сохраните рабочую книгу (Файл → Сохранить как → …).
Примечания:
1. В приложении А приведен пример оформления вычислений на листах MS Excel.
2. На листах MS Excel переменные х 1, х 2 будем обозначать х 1, х 2.
2. Спецификация: выбор в общем виде формулы связи между переменными, обозначающими выделенные факторы
Вид и сила функциональной зависимости (линейная или нелинейная) определяются по коэффициенту корреляции.
В меню Сервис выберите команду Анализ данных.
Примечание –Если в меню отсутствует эта команда, то следует выбрать Сервис ® Надстройка ® установить флажок Пакет анализа. При необходимости перезагрузить компьютер.
На листе «Исходные данные» выберите меню Сервис ® Анализ данных ® Корреляция ® ОК. Значения параметров окна установите следующим образом:
· Входной интервал – введите ссылки на ячейки A1:С21.
· Метки – установите флажок.
· Параметры вывода – установите переключатель на Выходной интервал и в поле установите ссылку на ячейку Е2. Нажмите кнопку ОК. Скопируйте ячейку G5 в H4. В ячейку Е1 введите название «Корреляционная матрица».
Для проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции сравниваются наблюдаемое 
и критическое 
значения статистики Стьюдента, для нахождения которых выполните следующие действия:
· В ячейку Е6 введите название «Значимость коэффициентов корреляции».
· В ячейку Е7 введите обозначение tнабл y, x 1.
· В ячейку F7 для вычисления tнабл для коэффициента корреляции факторов y, x 1 введите формулу
= F4*КОРЕНЬ((20 – 2)/(1 – F4^2)), где 20 – число наблюдений, 2 – число факторов.
· В ячейку Е8 введите tнабл y, x 2.
· В ячейку F8 для вычисления tнабл для коэффициента корреляции факторов y, x 2 введите формулу
= F5*КОРЕНЬ((20 – 2)/(1 – F5^2)), где 20 – число наблюдений, 2 – число факторов.
· В ячейку Е9 введите tкр.
· В ячейке F9 вычислите критическое значение tкр следующим образом:
– нажмите на кнопку fx (вставка функций);
– в поле Категория окна Мастер функций выберите статистические, из предложенных ниже функций выделите СТЬЮДРАСПОБР и нажмите кнопку ОК. Откроется окно Аргументы функций. Заполните поля:
¨ Вероятность – наберите значение 0,05;
¨ Степени свободы – введите 20 – 2, где 20 – число наблюдений,
2 – число факторов. Нажмите кнопку ОК.
Примечание – Выводы о существовании зависимости и выборе вида функции связи подробно описаны в разделе «Эконометрический анализ построения модели множественной регрессии».
3. Параметризация модели: нахождение оценок значений параметров выбранной функции связи
Найдите МНК-оценки неизвестных параметров 
парной линейной регрессионной модели 
, где e – случайная переменная, которая включает в себя суммарное влияние всех неучтенных в модели факторов, выполнив действия, представленные ниже.
Примечание – Предполагаем, что между факторами существует линейная зависимость. Далее находится уравнение линейной регрессии. Если доказана нелинейность зависимости, то проводится процедура линеаризации [6].
Выберите в меню Сервис → Анализ данных → Регрессия → ОК. Значения параметров в появившемся окне установите следующим образом:
· Входной интервал Y – введите ссылки на ячейки A1:A21.
· Входной интервал X – введите ссылки на ячейки B1:C21.
· Метки – установите флажок.
· Уровень надежности – установите флажок.
· Константа ноль – оставьте пустым.
· Параметры вывода – установите переключатель на Новый рабочий лист и в соответствующее поле введите его название «Регрессия».
· Остатки – установите флажок.
· Стандартизированные остатки – оставьте пустым.
· График остатков – установите флажок.
· График подбора – установите флажок.
· График нормальной вероятности – оставьте пустым. Нажмите кнопку ОК.
Расположите диаграммы рядом (на поле диаграммы нажмите левую кнопку мышки, затем поместите курсор на белое поле и при нажатой левой кнопке передвигайте диаграмму вниз) и растяните (на поле диаграммы нажмите левую кнопку мышки, нижнюю линию границы диаграммы при нажатой левой клавише протяните вниз).
Примечание – Выводы о значениях оценок параметров уравнения регрессии подробно описаны в разделе «Эконометрический анализ построения модели множественной регрессии».
4. Верификация модели: проверка адекватности модели
4.1. Общее качество уравнения: проверка значимости коэффициента детерминации
Для проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации сравниваются наблюдаемое значение статистики Фишера, найденное с помощью анализа Регрессия, и критическое значение 
которое вычислите на листе «Регрессия» в свободной ячейке Е15 следующим образом:
· Нажмите на кнопку fx (вставка функций);
· В поле Категория окна Мастер функций выберите статистические, из предложенных ниже функций выделите FРАСПОБР и нажмите кнопку ОК. Откроется окно Аргументы функций. Заполните поля:
– Вероятность – наберите значение 0,05;
– Степени свободы 1 – установите курсор в поле и выделите ячейку В12 столбца df таблицы «Дисперсионный анализ»;
– Степени свободы 2 – установите курсор в поле и выделите ячейку В13 столбца df таблицы «Дисперсионный анализ». Нажмите кнопку ОК. В ячейку D15 листа «Регрессия» введите Fкр.
Примечание – Выводы о качестве уравнения подробно описаны в разделе «Эконометрический анализ построения модели множественной регрессии».
4.2. Нормальность распределения остатков: устанавливается для возможности использования статистики Стьюдента при проверке гипотез (визуально по гистограмме, асимметрии и эксцессу, с помощью проверки параметрической гипотезы)
На листе «Регрессия» выберите в меню Сервис ® Анализ дан-
ных ® Описательная статистика ® ОК. Значения параметров в диалоговом окне установите следующим образом:
· Входной интервал – введите ссылки на ячейки С25:С45 (ячейки со значениями остатков и названием «Остатки»).
· Группирование по столбцам – установите флажок.
· Метки в первой строке – установите флажок.
· Выходной диапазон – установите переключатель на Выходной интервал, в поле напротив выделите указателем мыши ячейку D26.
· Итоговая статистика – установите флажок.
Параметры Уровень надежности (95%), К-ый наибольший, К-ый наименьший оставьте пустыми. Нажмитекнопку ОК.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения остатков
с помощью критерия хи-квадрат Пирсона сравниваются наблюдаемое
и критическое значения статистики хи-квадрат.
Рассчитайте наблюдаемое значение хи-квадрат статистики c2 =
= 
, выполнив действия, приведенные ниже.
В ячейку А49 введите название «Критерий Пирсона». Выберите
в меню Сервис ® Анализ данных ® Гистограмма ® ОК. Значения параметров окна установите следующим образом:
· Входной интервал – введите ссылки на ячейки С25:С45 (ячейки со значениями остатков и названием «Остатки»).
· Интервал карманов – не заполняйте.
· Метки – установите флажок.
· Параметры вывода – установите переключатель на Выходной интервал и введите ссылку на ячейку A50.
· Парето – оставьте пустым.
· Интегральный процент – оставьте пустым.
· Вывод графика – установите флажок. Нажмите кнопку ОК.
Перенесите гистограмму вниз и растяните ее.
Удалите слово Еще в столбце «Карман» и в этой же ячейке введите формулу = МАКС(C26:C45)*3, т. е. значение максимума остатковувеличили в три раза.
В ячейку С50 введите значение 0.
В ячейки С51:С55 введите формулу массива:
1) выделите ячейки С51:С55;
2) нажмите функциональную клавишу F2;
3) введите формулу = HOPMPACП(А51:А55;Е28;Е32;ИСТИНА);
4) нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Если появилось только одно значение, то нажмите клавишу F2
и снова Ctrl + Shift + Enter. В строке формул при активизации любой ячейки диапазона С51:С55 появится формула в фигурных скобках:
{= HOPMPACП(А51:А55;Е28;Е32;ИСТИНА)}.
Примечание – В дальнейшем фраза «введите формулу массива» предполагает выполнение четырех действий: 1) выделить заполняемый диапазон ячеек; 2) нажать на клавиатуре клавишу F2; 3) ввести формулу; 4) нажать комбинацию клавиш
Ctrl + Shift + Enter.
В ячейки D51:D55 введите формулу массива
{= С51:C55 – С50:C54}.
В ячейки Е51:E55 введите формулу массива {= Е40*D51:D55}.
В ячейки F51:F55 введите формулу массива
{= (B51:В55 – Е51:Е55)^2/Е51:E55}.
В ячейку А57 введите обозначение «хи-кв набл».
В ячейку В57 введите формулу = СУММ(F51:F55) для вычисления хи-квадрат набл.
Найдите критическое значение статистики Пирсона.
В ячейку А58 введите обозначение «хи-кв кр».
В ячейку В58 введите формулу = ХИ2ОБР(0,05; 6 – 2 – 1), где 6 = 5 + 1 (сумма числа значений в «кармане» 5 и 1), 2 – число параметров нормального распределения (для вычисления хи-квадрат кр).
Примечание – Выводы о нормальности распределения остатков подробно описаны в разделе «Эконометрический анализ построения модели множественной регрессии».
4.3. Значимость коэффициентов регрессии: проверка соответствующих гипотез
Для проверки гипотез о значимости коэффициентов регрессии сравниваются наблюдаемые значения t -статистики, найденные с помощью анализа Регрессия, и критическое значение, которое необходимо найти нижеописанным способом.
В ячейку С20 листа «Регрессия» введите tкр. Вычислите критическое значение tкр в свободной ячейке D20 следующим образом:
· Нажмите на кнопку fx (вставка функций).
· В поле Категория окна Мастер функций выберите статистические, из предложенных ниже функций выделите СТЬЮДРАСПОБР
и нажмите кнопку ОК. Откроется окно Аргументы функций. Значения параметров следующие:
– Вероятность – наберите значение 0,05;
– Степени свободы – введите 20 – 2 – 1, где 20 – число наблюдений, 2 – число факторов в уравнении регрессии, 1 – число свободных членов (b 0) в уравнении регрессии. Нажмите кнопку ОК.
Примечание – Выводы о значимости коэффициентов регрессии подробно описаны в разделе «Эконометрический анализ построения модели множественной регрессии».
|
|
|
