 |
Погрешность простейших функций двух переменных
|
|
|
|
Погрешность суммы:
Погрешность разности:
При 
качество измерений разности ухудшается.
Замечание: Абсолютная погрешность суммы и разности n приближенных величин равна сумме их абсолютных погрешностей.
Погрешность произведения:
То есть предпочтительней сначала найти относительную погрешность, а затем искать абсолютную: 
Замечания:
· Относительная погрешность степени есть произведение модуля показателя на относительную погрешность основания степени: 
.
· Относительная погрешность произведения n сомножителей приближенных величин равна сумме относительных погрешностей сомножителей:
.
Погрешность частного:
Все замечания сделанные для произведения справедливы и в этом случае.
Примеры и задания
Пример: дано приближенное число 3457,0погрешность - 0,6. Найти число верных знаков. Цифра 3 входит в число с весом 103, (1.3) то есть m =3. 
, минимальное k =1, 
, то есть верны три знака 
Пример: Дан куб, сторона которого 
, измерена с точностью 
. Определить погрешности измерения поверхности и объема куба:
Пример. Расчет погрешности функции трех переменных (1.2.1):
, 
, 
.
.
Пример. Катеты прямоугольного треугольника 
см. и 
см. измерены с погрешностью 
см. Определить погрешность измерения гипотенузы с.
см., 
, 
, 
см.
В каждом варианте задания три задачи, ниже приведены последовательно первая, вторая и третья задачи вариантов.
А. Найти абсолютную и относительную ошибки выражения, где 
, 
и 
- приближенные величины данные с погрешностями 
- соответственно:
1) 
, 
. 2) 
, 
.
3) 
, 
.
4) 
, 
.
5) 
, . 6) 
, 
7) , 
. 8) 
, . 9) 
, 
.
10) 
, 
. 11) 
, . 12) 
, 
.
13) 
, . 14) , 
.
15) 
, . 16. 
, .
Б. Дано приближенное число и его погрешность. Найти количество верных знаков:
|
|
|
1) 23,587; 0,08. 2) 13,58; 0,07. 3) 103,58; 0,03. 4) 1655; 6.
5) 323,07; 0,06. 6) 43,837; 0,008. 7) 16,402; 0,009. 8) 13,540; 0,006.
9) 31,541; 0,003. 10) 13,42; 0,03. 11) 137,5; 0,08. 12) 134; 20.
13) 3457,0; 0,6. 14) 4657; 8. 15) 16,47; 0,07. 16) 130,6; 0,06.
В. Дана геометрическая фигура. Определить в трехмерном случае объем и полную поверхность, а в плоском случае площадь и периметр. Погрешность определения размеров линейных элементов равна 1см:
1) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 30см. и высотой равной 12см.
2) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 10см. и высотой равной 12см.
3) Конус с высотой равной 30см. и радиусом равным 40см.
4) Прямоугольный параллелепипед с высотой 30см стороной основания 60см и диагональю основания 100см.
5) Цилиндр с главной диагональю равной 100см. и радиусом равным 40см.
6) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 80см. и высотой равной 40см.
7) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 60см. и высотой равной 40см.
8) Прямоугольный параллелепипед с высотой 25см, стороной основания 60 и диагональю основания 100см.
9) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 34 и 58см. и высотой равной 5см.
10) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 120см. и высотой равной 80см.
11) Конус с высотой равной 12см. и радиусом основания, равным 5см.
12) Прямоугольный параллелепипед с высотой 20см стороной основания 50 и диагональю основания 130см.
13) Цилиндр с образующей равной 60см. и главной диагональю равной 100см.
14) Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 32см. и высотой равной 8см.
15) Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 24см. и высотой равной 5см.
16) Прямоугольный параллелепипед со стороной основания 12см, его диагональю 13см и высотой 40см.
Приближение функций
Во многих случаях функция задается таблично, то есть, известны её значения только в узловых точках (узлах):
|
|
|
Таблица 2.1
Необходимо построить функцию, приблизительно описывающую зависимость между узлами. Приближающая функция обычно берется в виде суммы элементарных функций. На практике используются степенные, показательные, тригонометрические функции. В дальнейшем будем рассматривать полиномиальное приближение, т.е. приближающая функция имеет вид:
. (2.1)
Существуют два основных критерия (условия) построения приближающих функций. Критерий интерполяции требует, чтобы приближающая функция проходила через узлы. Критерий аппроксимации требует минимизации некоторого функционала.
Интерполяционные полиномы
Полином степени n однозначно определяется своими значениями в n+1 точке с попарно разными абсциссами: 
, если 
. Действительно, выпишем согласно критерию интерполяции систему уравнений 
или в развернутом виде:
.
Система (n+1)-ого уравнения относительно 
, 
имеет единственное решение, если 
так как в этом случае определитель не равен 0. Существуют методы, позволяющие избежать непосредственного решения системы уравнений для нахождения .
|
|
|
