Примеры и задания для практических занятий

 

Пример: Дана таблица узлов. Построить интерполяционный полином Лагранжа и провести проверку табл. 2.3.

 

Таблица 2.3

N
X		0,5		1,5
Y

 

В выражение (2.2.1) для n =3:

,

необходимо подставить данные из табл. 2.3.

.

После преобразований получим:

 

Проверка:

 

Пример. Построить интерполяционные полиномы Ньютона по предыдущей таблице узловых точек.

№	x	y
					-3
	0.5			-3
			-2
	1.5

Первый интерполяционный полином Ньютона.

;

;

Второй интерполяционный полином Ньютона:

;

.

 

 

Варианты задаются по номерам столбцов табл.2.4 и 2.5 в виде дробей: , например, означает, что для узловых точек по х и у выбираются второй и девятый варианты соответственно. Каждый студент должен получить три таких дроби для расчета интерполяционного полинома Лагранжа, первого и второго интерполяционного полинома Ньютона. Результат необходимо представить в виде: ,

где коэффициенты правильные или не правильные дроби, не десятичные. Проверка производится подстановкой узловых точек.

 

Таблица 2.4

	Варианты
n
		-0,5	-1
	0,5		-0,5
		0,5
	1,5		0,5

 

Таблица 2.5

	Варианты
n
	-1			-1			-1				-1
		-1						-2		-1	-1	-1			-2
			-1	-1	-1	-1	-2	-1	-1				-1		-1
									-1		-2			-2	-1

 

 

Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений

 

 

Общий вид уравнения . Решить уравнение, т.е. найти его корень, означает определить такое, что .

Во многих случаях точное значение найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью . Геометрически корень – это пересечение графиком функции оси .

Задача делится на 2 этапа:

1. Локализация корня – т.е. нахождение интервала, на котором изолирован единственный нужный нам корень. Выбор интервала производится путем анализа знака в ряде пробных точек. Этот процесс в общем виде не алгоритмизируется.
2. Уточнение положения корня на интервале локализации.

Свойства функции на интервале локализации [a, b]:

2.1. непрерывна на [a, b]

2.2. монотонна на [a, b], т.е. или , что обуславливает единственность корня

2.3. меняет знак на [a, b], , т.е. корень существует.

2.4. не имеет точек перегиба, т.е. или .

Последние условия не являются в общем случае обязательными, но для сходимости некоторых методов они необходимы. Так, если функция имеет корень в точке своего локального минимума, условие 2.3. не выполняется, однако оно необходимо для сходимости методов дихотомии, хорд и секущих. Для сходимости метода секущих также необходимо выполнение условия 2.4.

Нахождение приближенного значения корня – это итерационный процесс, когда по предыдущему (предыдущим) значениям корня находится следующее приближенное значение. Итерационный процесс прекращается, когда достигается заданная точность:

(3.1)

 

Для этого необходимо, чтобы процесс итераций сходился. Рассмотрим несколько итерационных процедур.

 

Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений

 

Уравнение преобразуется к виду

(3.1.1)

и, если выполняется условие

, (3.1.2)

то итерационный процесс:

(3.1.3)

сходится к точному значению. Действительно, , из теоремы о среднем следует оценка: , т.е., расстояние между точками последовательности уменьшается, если - ( = q – знаменатель сходимости). По теореме о неподвижной точке в этом случае существует предел - решение уравнения. Начальная точка - любая точка интервала локализации корня. Знаменатель сходимости зависит от вида . Уравнение может быть преобразовано к итерационному виду (3.1.1) множеством различных способов – модификаций одношагового стационарного метода простой итерации (см. также 3.3), выбором которых можно добиться минимума знаменателя сходимости.

Например, исходное уравнение эквивалентно следующему: . Достаточное условие сходимости (3.1.2) выполняется, если , где

 

 

Метод хорд и секущих

На интервале заменим линейным интерполяционным полиномом, проходящем через точки и :

.

В качестве первого приближенного значения корня выберем корень полинома , тогда:

. (3.2.1)

Далее, если поведение неизвестно, то выбирают интервал, на котором меняет знак или , и на нем строят новую хорду (т.е. в формулу подставляем новые границы интервала), и т.д. до достижения заданной точности (3.1).

Если не имеет точки перегиба на , то один из концов множества хорд неподвижен. Условие неподвижной точки:

(3.2.2)

Анализ позволяет определить неподвижную точку c и для нахождения использовать итерационную формулу:

, (3.2.3) причем .

При отсутствии точки перегиба в области локализации корня более эффективным является двухшаговый метод секущих, в котором последующее приближенное значение корня находится по двум предыдущим. Через первые две точки проводится секущая, пересечение которой с осью абсцисс дает следующее приближенное значение. В результате приходим к итерационной формуле:

(3.2.4)

Аналогичная формула получается, если в правой части формулы метода Ньютона вместо производной от функции подставить её конечноразностную аппроксимацию первого порядка в точке .

 

Метод касательных

(Метод Ньютона)

В этом методе в качестве выбирается одна из границ интервала и из этой точки строится касательная. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения касательной с осью абсцисс.

Из точки проводится новая касательная и т. д., до достижения заданной точности (3.1).

Уравнение касательной в точке имеет вид:

, ,

отсюда следует итерационный процесс:

. (3.3.1)

 

Выражение для начальной точки совпадает с (3.2.2).

Метод Ньютона можно считать модификацией метода простой итерации (3.1.1) при . Условия сходимости метода следуют из (3.1.2), а именно, для всех из области локализации корня должно выполняться

< (3.3.2)

Из 3.3.2 следует, что чем меньше область локализации корня, тем меньше знаменатель сходимости метода Ньютона и в пределе при . Таким образом, при достаточно малой области локализации корня сходимость метода Ньютона безусловная.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: